Un espacio vectorial no usual

RESUMEN. Construimos un espacio vectorial no usual.

    Enunciado
    Sea el conjunto $H=\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{>0}$.
  1. Demostrar que $(H,\oplus)$ es grupo abeliano, estando $\oplus$ definida mediante $$(x,y)\oplus{}(z,w)=(x+z-2,yw).$$
  2. Demostrar que la operación $$\mathbb{R}\times H\to H,\quad λ\otimes{}(x,y)=(λx-2λ+2,y^λ)$$ dota al grupo abeliano $H$ del apartado anterior, de estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$.
    Solución
  1. Interna. Dado que para todo $(x,y),(z,w)\in H$, se verifica $x,z\in\mathbb{R}$, también $x+z-2\in\mathbb{R}$. Al ser $y,w\in\mathbb{R}_{>0}$ también $yw\in \mathbb{R}_{>0}$ y por tanto, $(x,y)\oplus{}(z,w)\in H$.
    Asociativa. Para todo $(x,y),(z,w),(u,v)\in H$ tenemos $$(x,y)\oplus[(z,w)\oplus(u,v)]=(x,y)\oplus (z+u-2,wv)=(x+z+u-4,ywu),$$ $$[(x,y)\oplus (z,w)]\oplus(u,v)=(x+z-2,yw)\oplus(u,v)=(x+z+u-4,ywu).$$ Se verifica la igualdad.
    Elemento neutro. El par $(a,b)$ es elemento neutro en $H$ si y sólo si para todo $(x,y)\in H$ se verifica $$(x,y)\oplus (a,b)=(a,b)\oplus(x,y)=(x,y)$$ o equivalentemente $(x+a-2,yb)=(a+x-2,by)=(x,y)$. Es claro que $(a,b)$ $=$ $(2,1)$ $\in H$ y satisface la relación anterior para todo $(x,y)\in H$. Es por tanto el elemento neutro de $H$.
    Elemento simétrico. El elemento $(x’,y’)\in H$ es simétrico de $(x,y)\in H$ si y sólo si se verifica $$(x,y)\oplus (x’,y’)=(x’,y’)\oplus(x,y)=(2,1)$$ o equivalentemente $(x+x’-2,yy’)=(x’+x-2,y’y)=(2,1)$. Es claro que $(x’,y’)=(4-x,1/y)$ es elemento de $H$ y satisface la relación anterior.
    Conmutativa. Para todo $(x,y),(z,w)\in H$ tenemos $$(x,y)\oplus{}(z,w)=(x+z-2,yw)=(z+x-2,wy)=(z,w)\oplus{}(x,y).$$ Concluimos pues que $(H,\oplus)$ es grupo abeliano.
  2. Para todo $\lambda,x\in \mathbb{R}$ se verifica $λx-2λ+2\in\mathbb{R}$ y para todo $y\in \mathbb{R}_{ > 0}$ existe $y^\lambda > 0$. Es decir, $λ\otimes{}(x,y)\in H$ está bien definida. Veamos ahora que se cumplen los cuatro axiomas de ley externa para espacios vectoriales.
    $(i)$ Para todo $\lambda\in \mathbb{R}$ y para todo $(x,y),(z,w)\in H$ tenemos $$\lambda \otimes[(x,y)\oplus (z,w)]=\lambda\otimes (x+z-2,yw)=\left(\lambda x+\lambda z-2\lambda-2\lambda+2,(yw)^\lambda\right).$$ Por otra parte, $$[\lambda \otimes(x, y)]\oplus [\lambda \otimes(z, w)]=(λx-2λ+2,y^λ)\oplus(\lambda z-2\lambda +2,w^\lambda)$$ $$=(λx-2λ+2+\lambda z-2\lambda +2-2,y^\lambda w^\lambda)=\left(\lambda x+\lambda z-4\lambda+2,(yw)^\lambda\right).$$ Se verifica la igualdad.
    $(ii)$ Para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$ y para todo $(x,y)\in H$ tenemos $$(\lambda +\mu)\otimes(x,y)=\left((\lambda+\mu)x-2(\lambda+\mu)+2,y^{\lambda+\mu}\right).$$ Por otra parte, $$[\lambda \otimes (x,y)]\oplus [\mu \otimes (x,y)]=\left(λx-2λ+2,y^λ)\right)\oplus \left(\mu x-2\mu+2,y^\mu\right)$$ $$=(λx-2λ+2+\mu x-2\mu+2-2,y^\lambda y^\mu).$$ Se verifica la igualdad.
    $(iii)$ Para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{R}$ y para todo $(x,y)\in H$ tenemos $$\lambda \otimes [\mu \otimes (x,y)]=\lambda \otimes (\mu x-2\mu+2,y^\mu)=\left(\lambda(\mu x-2\mu+2)-2\lambda+2,(y^\mu)^\lambda\right).$$ Por otra parte, $$(\lambda \mu)\otimes(x,y)=\left((\lambda\mu)x-2(\lambda\mu)+2,y^{\lambda\mu}\right).$$ Se verifica la igualdad.
    $(iv)$ Para todo $(x,y)\in H$ se verifica $$1\otimes (x,y)=(1x-2\cdot1+2,y^1)=(x,y).$$ Concluimos que $H$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ con las operaciones dadas.
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