Espacio vectorial de las matrices circulantes

RESUMEN. Demostramos que el conjunto de las matrices circulantes tiene estructura de espacio vectorial, hallamos su dimensión y una base.

    Enunciado
    Sea $T:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ dada por $T(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})=(x_{n-1},x_0,\ldots,x_{n-2}).$ Se llama matriz circulante de orden $n$ determinada por $x=(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})$ y la representamos por $\text{circ}\{x\}$, a la matriz cuyos filas en el orden natural son $v,T(v),\ldots,T^{n-1}(x)$, es decir $$\text{circ }\{x\}=\begin{bmatrix}x\\{T(x)}\\ \vdots \\{T^{n-1}}(x)\end{bmatrix}$$
  1. Escribir de forma explícita una matriz circulante genérica.
  2. Sea $\text{Circ}(n)=\{\text{circ}\{x\}:x\in \mathbb{C}^n\}$ el conjunto de todas las matrices circulantes de orden $n$. Demostrar que es subespacio vectorial de $\mathbb{C}^{n\times n}.$
  3. Demostrar que la aplicación $\Phi: \mathbb{C}^n\to \text{Circ}(n)$ dada por $\Phi (x)=\text{circ}\{x\}$ es isomorfismo de espacios vectoriales.
  4. Hallar la dimensión y una base de $\text{Circ}(n)$. Escribir explícitamente esta base para $n=3$.
    Solución
  1. Una matriz circulante genérica es $$\text{circ }\{x\}=\begin{bmatrix}x\\{T(x)}\\ \vdots\\{T^{n-2}}(x) \\{T^{n-1}}(x)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0 & x_1 & \ldots & x_{n-2} & x_{n-1}\\ x_{n-1} & x_0 & \ldots & x_{n-3} & x_{n-2}\\ \vdots&&&\vdots \\ x_2 & x_3 &\ldots & x_0 & x_1\\ x_1 & x_2 &\ldots & x_{n-1} & x_0\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n\times n}.$$
  2. Se verifica $0=\text{circ}\{0\}\in \text{Circ}(n)$. Por otra parte y para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo par de matrices $\text{circ}\{x\}$, $\text{circ}\{y\}$ de $\text{Circ}(n)$: $$\text{circ}\{x\}+\text{circ}\{y\}=\text{circ}\{x+y\}\in \text{Circ}(n),\quad \lambda \text{circ}\{x\}=\text{circ}\{\lambda x\}\in \text{Circ}(n),$$ por tanto $\text{Circ}(n)$ es subespacio de $\mathbb{C}^{n\times n}$.
  3. Para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $x,y\in\mathbb{C}$ se verifica $$\begin{aligned}&\Phi (x+y)=\text{circ}\{x+y\}=\text{circ}\{x\}+\text{circ}\{y\}=\Phi (x)+\Phi (y),\\
    & \Phi (\lambda x)=\text{circ}\{\lambda x\}=\lambda \text{circ}\{x\}=\lambda \Phi (\lambda x).
    \end{aligned}$$ Por tanto, $\Phi$ es lineal. Es inyectiva pues $$ \ker \Phi=\{x\in\mathbb{C}^n:\Phi (x)=0\}=\{x\in\mathbb{C}^n:\text{circ}\{x\}=0\}=\{0\}.$$ Por otra parte, $\Phi$ es sobreyectiva por su propia construcción. Concluimos que $\Phi$ es isomorfismo.
  4. Al ser $\Phi$ isomorfismo, $\dim \text{Circ}(n)=\dim \mathbb{C}^n=n$ y como los isomorfismos transforman bases en bases, si $B_c=\{e_0,e_1,\ldots,e_{n-1}\}$ es la base canónica de $\mathbb{C}^n$ una base de $\text{Circ}(n)$ es $B_{\text{Circ}(n)}=\{\Phi (e_0),\Phi (e_1),\ldots,\Phi (e_{n-1})\}.$ Para $n=3$, los vectores de una base de $\text{Circ}(3)$ son $$\Phi (e_0)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix},\; \Phi (e_1)=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\end{bmatrix},\;\Phi (e_2)=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\end{bmatrix}.$$
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