Valores propios y determinante de una matriz circulante

RESUMEN. Calculamos los valores propios, vectores propios y el determinante de una matriz circulante genérica.

    Enunciado
    Recordamos que una matriz circulante es una matriz de la forma $$A=\begin{bmatrix}
    a_0 & a_1 & \dots & a_{n-2} &a_{n-1} \\
    a_{n-1} & a_0 & \dots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
    a_{n-2} & a_{n-1} & \dots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
    \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
    a_{2} & a_3 & \dots & a_{0} & a_{1}\\
    a_{1} & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_{0}
    \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n\times n},$$ es decir una matriz cuadrada compleja cuyas componentes de la primera fila son números complejos cualesquiera y cada una de las sucesivas filas se obtiene de la anterior sustituyendo la última componente por la primera y trasladando las restantes. El objetivo de este problema es hallar los valores propios, vectores propios y el determinante de cualquier matriz circulante.
  1. Demostrar que $v=\begin{bmatrix}1,\omega,\omega^2 \ldots,\omega^{n-1}\end{bmatrix}^T$ con $\omega$ cualquier raíz enésima de la unidad, es vector propio de $A$. Determinar su valor propio asociado.
  2. Demostrar que $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.
  3. Calcular $\det A$.
  4. Para una matriz genérica circulante de orden $2$, hallar sus valores propios, vectores propios y determinante sin usar los apartados anteriores. Verificar los resultados.
    Solución
  1. Hallemos el vector $Av$, es decir
    $$ A v=
    \begin{bmatrix}
    a_0 & a_1 & \dots & a_{n-2} &a_{n-1} \\
    a_{n-1} & a_0 & \dots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
    a_{n-2} & a_{n-1} & \dots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
    \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
    a_{2} & a_3 & \dots & a_{0} & a_{1}\\
    a_{1} & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_{0}
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
    1 \\
    \omega \\
    \omega^2 \\
    \vdots \\
    \omega^{n-1}\\
    \end{bmatrix}.$$ Llamemos $\lambda$ a la primera componente del vector $Av$. Entonces, $$\lambda=a_0+a_1\omega+a_2\omega^2+\cdots a_{n-2}\omega^{n-2}+a_{n-1}\omega^{n-1}.$$ La segunda componente del vector $Av$ es $$a_{n-1}+a_0\omega+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-2}+a_{n-2}\omega^{n-1}$$ $$=\omega \left(a_{n-1}\omega^{n-1}+a_0+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-3}+a_{n-2}\omega^{n-2}\right)$$ $$=\omega\left(a_0+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-3}+a_{n-2}\omega^{n-2}+a_{n-1}\omega^{n-1}\right)=\lambda \omega .$$ La $i$-ésima componente es $$a_{n-i+1}+a_{n-i+2}\omega +\cdots+ a_{n-i}\omega^{n-1}$$ $$= \omega^{i-1}\left(a_{n-i+1}\omega^{n-i+1}+a_{n-i+2}\omega^{n-i+2} +\cdots+ a_{n-i}\omega^{n-i}\right)=\lambda \omega^{i-1}.$$ En consecuencia $$Av=\begin{bmatrix}
    \lambda \\
    \lambda\omega \\
    \lambda \omega^2 \\
    \vdots \\
    \lambda\omega^{n-1}
    \end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}
    1 \\
    \omega \\
    \omega^2 \\
    \vdots \\
    \omega^{n-1}
    \end{bmatrix}=\lambda v.$$ Concluimos que $v=\begin{bmatrix}1,\omega,\omega^2 \ldots,\omega^{n-1}\end{bmatrix}^T\ne 0$ es vector propio asociado al valor propio $\lambda=a_0+a_1\omega+a_2\omega^2+\cdots a_{n-2}\omega^{n-2}+a_{n-1}\omega^{n-1}$, y esto para todo $\omega$ raíz $n$-ésima de la unidad.
  2. El razonamiento del apartado anterior es válido para toda raíz enésima de la unidad. Si $\zeta =e^{2\pi i}$ entonces, las $n$ raíces enésimas de la unidad son $\omega=\zeta^k$ con $k=0,1,\ldots,n-1$. Esto significa que para todo $k=0,1,\ldots,n-1$ el vector $$v_k=\begin{bmatrix}1,\zeta^k ,\zeta^{2k} \ldots,\zeta^{k(n-1)}\end{bmatrix}^T$$ es vector propio de $A$ asociado al valor propio $$\lambda_k=a_0+a_1\zeta^k+a_2\zeta^{2k}+\cdots a_{n-2}\zeta^{k(n-2)}+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)}.$$ Para demostrar que los vectores $v_k\;(k=0,1,\ldots,n-1)$ son linealmente independientes formamos la matriz: $$P=\begin{bmatrix}v_0,v_1,v_2 \ldots,v_{n-1}\end{bmatrix}=$$ $$\begin{bmatrix}
    1& 1 & 1 & \dots & 1 &1 \\
    1&\zeta & \zeta^{2} & \dots & \zeta^{n-2} & \zeta^{n-1} \\
    1&\zeta^{2} & \zeta^{4} & \dots & \zeta^{2(n-2)} & \zeta^{2(n-1)} \\
    1& \zeta^{3} & \zeta^{6} & \dots & \zeta^{3(n-2)} & \zeta^{3(n-1)} \\
    \vdots& \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
    1& \zeta^{n-1} & \zeta^{2(n-1)} & \dots & \zeta^{(n-1)(n-2)} &\zeta^{(n-1)(n-1)}
    \end{bmatrix}.$$ La matriz $P$ es una matriz de Vandermonde y su determinante es $$\det P=\prod_{0\le i < j \le n-1}(\zeta^j-\zeta^i)\neq 0.$$ Es decir, $\text{rg }(P)=n$ lo cual implica que sus columnas son linealmente independientes. Nótese que hemos demostrado también que toda matriz circulante es diagonalizable.
  3. El determinante de $A$ es el producto de sus valores propios, en consecuencia $$\det A=\prod_{k=0}^{n-1}\left(a_0+a_1\zeta^k+a_2 \zeta^{2k}+\cdots+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)}\right),\quad \zeta=e^{2 \pi i/n}.$$
  4. Hallemos los valores propios de una matriz circulante genérica $A$ de orden dos: $$A=\begin{bmatrix}{a_0}&{a_1}\\{a_1}&{a_0}\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{2\times 2},\quad\chi (\lambda)=\lambda^2-2a_0\lambda +a_0^2-a_1^2=0 $$ $$\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{2a_0\pm\sqrt{4a_0^2-4a_0^2+4a_1^2}}{2}=a_0\pm a_1.$$ Llamemos $\lambda_0=a_0+a_1$ y $\lambda_1=a_0-a_1.$ Se verifica $\lambda_0=\lambda_1$ si y sólo si $a_1=0$. Entonces para $a_1\ne 0$ tenemos dos valores propios simples y los subespacios propios y una base de cada uno de ellos son: $$V_{\lambda_0}:\left \{ \begin{matrix} -a_1x_1+a_1x_2=0\\a_1x_1-a_1x_2=0,\end{matrix}\right.\quad B_{V_{\lambda_0}}=\{v_0=(1,1)^T\}.$$ $$V_{\lambda_1}:\left \{ \begin{matrix} a_1x_1+a_1x_2=0\\a_1x_1+a_1x_2=0,\end{matrix}\right.\quad B_{V_{\lambda_1}}=\{v_1=(1,-1)^T\}.$$ Para $a_1=0$ tenemos $$Av_0=\begin{bmatrix}{a_0}&{0}\\{0}&{a_0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}=a_0\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix},\; Av_1=\begin{bmatrix}{a_0}&{0}\\{0}&{a_0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix}=a_0\begin{bmatrix}{1}\\{-1}\end{bmatrix}$$ y por tanto $v_0$ y $v_1$ son también vectores propios asociados al valor propio doble $\lambda_0=\lambda_1=a_0$. Verificamos todo esto con lo demostrado en los apartados anteriores. Sea $\zeta=-1$. Las raíces cuadradas de la unidad son $\zeta^0=1$ y $\zeta^1=-1$. Los valores propios son: $$\lambda_0=a_0+a_1=a_0+a_1\zeta^0,\quad \lambda_1=a_0-a_1=a_0+a_1\zeta^1,$$ y los respectivos vectores propios $$v_0=\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{\zeta^0}\end{bmatrix},\quad v_1=\begin{bmatrix}{1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{\zeta^1}\end{bmatrix}.$$ Por último, $$\det A=a_0^2-a_1^2=(a_0+a_1)(a_0-a_1)=\left(a_0+a_1\zeta^0\right)\left(a_0+a_1\zeta^1\right)$$ $$=\prod_{k=0}^{2-1}\left(a_0+a_1\zeta^k\right),\quad \zeta=e^{2 \pi i/2}=-1.$$
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