Teorema de reordenación de Riemann

Resumen. Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado $x\in [-\infty,+\infty]$, existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$.

    Enunciado
    Por simplicidad, denotaremos $\sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$.
  1. Demostrar que si la serie real $\sum a_n$ es condicionalmente convergente, entonces existen infinitos términos positivos e infinitos negativos.
  2. Para todo $n$ descomponemos $a_n=a_n^++a_n^-$ con $a_n^+\ge 0$ y $a_n^-\le 0$ de la siguiente manera: $$a_n^+=\dfrac{a_n+\left|a_n\right|}{2},\quad a_n^-=\dfrac{a_n-\left|a_n\right|}{2}.$$ Describir tal descomposición según los casos $a_n$ positivo, negativo o nulo.
  3. Demostrar que $\sum a_n^+=+\infty$ y que $\sum a_n^-=-\infty$.
  4. Dada una serie real condicionalmente convergente y dado cualquier número real $x$, demostrar que existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$.
  5. Dada una serie real condicionalmente convergente demostrar que existe una reordenación de la serie cuya suma es $+\infty$ y otra cuya suma es $-\infty$ (esto completará la demostración del teorema).
    Solución
  1. Supongamos que existiera sólo un número finito de términos positivos y sea $a_m$ el último de ellos. Entonces, al ser $\sum a_n$ convergente, lo sería $\sum_{n > m} a_n=$ $-\sum_{ n > m} \left|a_n\right|$ con lo cual lo sería $\sum_{n > m} \left|a_n\right|$ y por ende $\sum \left|a_n\right|$. Llegaríamos al absurdo de que $\sum a_n$ sería absolutamente convergente. Análogo razonamiento si existiera sólo un número finito de términos negativos.
  2. De acuerdo con las definiciones de $a_n^+$ y $a_n^-$: $$a_n=\left \{ \begin{matrix}a_n^++a_n^-=a_n+0&\text{si}& a_n > 0\\a_n^++a_n^-=0+a_n&\text{si}& a_n < 0\\ a_n^++a_n^-=0+0&\text{si}& a_n = 0.\end{matrix}\right.$$
  3. Si ambas series fueran convergentes: $$\left \{ \begin{matrix}\sum a_n^+=S\in\mathbb{R}\\\sum a_n^-=T\in\mathbb{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix}\sum a_n^+=S\\\sum \left|a_n^-\right|=-T\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \sum \left|a_n\right|=\sum \left(a_n^++\left|a_n^-\right|\right)=\sum a_n^++\sum \left|a_n^-\right|=S-T\in\mathbb{R}$$ y la serie $\sum a_n$ sería absolutamente convergente (contradicción).
    Si una de las series $\sum a_n^+$, $\sum a_n^-$ fuera convergente y otra divergente, la serie suma $\sum \left(a_n^++a_n^-\right)$ (que es la serie $\sum a_n$), sería divergente, en contradicción con la hipótesis de ser $\sum a_n$ condicionalmente convergente. Concluimos que necesariamente las series $\sum a_n^+$ y $\sum a_n^-$ son ambas divergentes.
    Ademas, al ser $\sum a_n^+$ serie de términos positivos y $\sum a_n^-$ de negativos, ha de ser $$\sum a_n^+=+\infty,\quad\sum a_n^-=-\infty.$$
  4. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos los términos de la serie condicionalmente convergente $\sum a_n$ son no nulos. Sea $p_n$ el $n$-ésimo término positivo de $\sum a_n$ y sea $-q_n$ su $n$-ésimo negativo. Según el apartado anterior, $\sum p_n=+\infty$ y $\sum -q_n=-\infty$. Elijamos términos positivos $p_1,\ldots,p_{n_1}$ hasta el primer $p_{n_1}$ que verifique $$S_{n_1}=p_1+\ldots+p_{n_1} > x$$ con lo cual, $S_{n_1}-x < p_{n_1}$. Elijamos términos negativos $-q_1,\ldots,-q_{n_2}$ hasta el primer $-q_{n_2}$ que verifique $$S_{n_1+n_2}=p_1+\ldots+p_{n_1} -q_1-\ldots -q_{n_2} < x$$ con lo cual, $x-S_{n_1+n_2} < q_{n_2}$. Además, $S_{n_1} > S_{n_1+1} > \ldots > S_{n_1+n_2}$, luego $$x – S_n < q_{n_2}\quad \forall n=n_1,n_2+1,\ldots,n_1+n_2.$$ Nótese que estamos reordenado la serie $\sum a_n$. De nuevo, elijamos los términos positivos $p_{n_1+1},\ldots,p_{n_3}$ hasta el primer $p_{n_3}$ que verifique $$S_{n_1+n_2+n_3}=p_1+\ldots+p_{n_1} -q_1-\ldots - q_{n_2}+ p_{n_1+1}+\ldots+p_{n_3} > x$$ con lo cual, $S_{n_1+n_2+n_3} -x < p_{n_3}$. Además, $S_{n_1+n_2} < S_{n_1+n_2+1} < \ldots < S_{n_1+n_2 +n_3}$, luego $$S_n - x < p_{n_3}\quad \forall n=n_1+n_2,n_1+n_2+1,\ldots,n_1+n_2+ n_3.$$ Procediendo de esta manera llegamos a una reordenación de la serie $\sum a_n$ de tal manera que sus sumas parciales satisfacen $$ S_{n_1}-x < p_{n_1},\quad x-S_{n_1+n_2} < q_{n_2},\quad S_{n_1+n_2+n_3} -x < p_{n_3},\quad \ldots$$ así como las sumas parciales intermedias $S_n$. Por la condición necesaria de la convergencia de $\sum a_n$ tenemos que $p_n\to 0$ y $q_n\to 0$, por tanto las sumas parciales de la serie reordenada tienen límite $x$.
  5. De nuevo y sin pérdida de generalidad suponemos que todos los términos de la serie $\sum a_n$ son no nulos. Sea $p_1 < p_2 < p_3 < \cdots$ la sucesión de índices tales que $a_{p_i}$ es término positivo de la serie y $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ la de los que $a_{n_i}$ es negativo. Cada número natural aparece pues una y sólo una vez en alguna de las sucesiones $(p_i)$ o $(n_i)$. Recordemos que según se ha demostrado, $\sum_{i=1}^{\infty} a_{p_i}=+\infty$. Entonces, sea $k_1$ el menor número natural tal que $$\sum_{i=1}^{k_1} a_{p_i} \geq |a_{n_1}| + 1,$$ $k_2$ el menor número natural tal que $$ \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_{p_i} \geq |a_{n_2}| + 1,$$ y así sucesivamente. Esto define la reordenación de la serie $$a_{p_1}+a_{p_2}+\cdots+a_{p_{k_1}}+a_{n_1}+a_{p_{k_1+1}}+a_{p_{k_1+2}}+a_{p_{k_2}}+a_{n_2}+\cdots$$ Veamos que la serie reordenada de esta manera tiene suma $+\infty$. Efectivamente, por construcción, la suma de los $k_1+1$ primeros términos de la reordenación es $\ge 1$ y ninguna suma parcial de entre esos términos es $ < 0$. De manera análoga, la suma de los siguientes $k_2-k_1+1$ términos es $\ge 1$ y ninguna suma parcial de entre esos términos es $ < 0$. Reiterando, concluimos que la suma de la reordenación es $+\infty$. La demostración de que existe una reordenación cuya suma es $-\infty$ es similar.
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