Derivada aritmética natural

Definimos la función derivada aritmética natural, demostrando que existe y es única.

    Enunciado
    La función derivada aritmética es una función $n^{\prime}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ definida recursivamente por
    $(1)\; p^{\prime}=1\text{ para todo }p\text{ primo}$
    $(2)\;(ab)^{\prime}=a^{\prime}b+ab^{\prime}\text{ para todo }a,b\in\mathbb{N}\quad \text{(Regla de Leibniz).}$
  1. Calcular $1^{\prime}$, $0^{\prime}$, $6^\prime$ y $9^{\prime\prime}$.
  2. Calcular las derivadas de los $11$ primeros números naturales.
  3. Demostrar que si existe la función derivada aritmética, es única.
  4. Demostrar que la función derivada aritmética existe y es $$n^{\prime}=\left \{ \begin{matrix} {0}&\text{si}& n=0\;\vee\; n=1\\\displaystyle n\sum_{i=1}^m\frac{n_i}{p_i} & \text{si}& n\ge 2\end{matrix}\right.$$ en donde $n=\prod_{i=1}^mp_i^{n_i}\ge 2$ es la factorización de $n$ en producto de factores primos.
  5. Usando el teorema anterior, hallar $120^{\prime}$.
    Solución
  1. Tenemos $1^{\prime}=(1\cdot 1)^{\prime}=1^{\prime}\cdot 1+1\cdot 1^{\prime}=2\cdot 1^{\prime}\Rightarrow 1^{\prime}=0.$
    $0^{\prime}=(2\cdot 0)^{\prime}=2^{\prime}\cdot 0+2\cdot 0^{\prime}=1\cdot 0+2\cdot 0^{\prime}=2\cdot 0^{\prime}\Rightarrow 0^{\prime}=0$.
    $6^{\prime}=(2\cdot 3)^{\prime}=2^{\prime}\cdot 3+2\cdot 3^{\prime}=1\cdot 3+2\cdot 1=5.$
    $9^{\prime\prime}=\left(9^{\prime}\right)^{\prime}=6^{\prime}=5$.
  2. Fácilmente podemos verificar las derivadas de los $11$ primeros números naturales:
    $$\begin{array}{r|*{11}{r}}{n} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
    {}n^{\prime}& 0 & 0 & 1 & 1 & 4 & 1 & 5 & 1 & 12 & 6 & 7\\
    \end{array}$$
  3. Si existe la derivada aritmética vimos que necesariamente $0^{\prime}=1^{\prime}=0$ y por definición, $p^{\prime}=1$ para todo $p$ primo. Sea $n\ge 2$ y $n=\prod_{i=1}^mp_i$ la descomposición de $n$ en factores primos (repetidos o no). Procedamos por inducción sobre $m$. Para $m=1$ tenemos $n^{\prime}=\left(p_1\right)^{\prime}=1.$ Supongamos determinada unívocamente la derivada aritmética para todos los naturales de la forma $\prod_{i=1}^mp_i$, Entonces, $$\left(\prod_{i=1}^{m+1}p_i\right)^{\prime}=\left(\left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)\cdot p_{m+1}\right)^{\prime}=\left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)^{\prime}\cdot p_{m+1}+\left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right),$$ y al estar determinado $\left(\prod_{i=1}^{m}p_i\right)^{\prime}$, lo está $\left(\prod_{i=1}^{m+1}p_i\right)^{\prime}$.
  4. Es claro que para $n\ge 2$ la fórmula dada es válida incluso si alguno de los exponente $n_i$ es nulo, por tanto si $a,b$ son dos números mayores o iguales que $2$ se pueden expresar en la forma $a=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$, $b=\prod_{i=1}^kp_i^{\beta_i}$. Entonces, $$(ab)^{\prime}=\left(\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i+\beta_i}\right)^{\prime}=ab\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i+\beta_i}{p_i}$$ $$=\left(a\sum_{i=1}^k\frac{\alpha_i}{p_i}\right)b+a\left(b\sum_{i=1}^k\frac{\beta_i}{p_i}\right)=a^{\prime}b+ab^{\prime}.$$ Si alguno de los $a,b$ es $0$ o $1$, la comprobación de la regla de Leibniz es inmediata.
  5. Tenemos $120^{\prime}=\left(2^3\cdot 3\cdot 5\right)^{\prime}=120\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)=244.$
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