Derivada aritmética racional

Definimos la derivada aritméica racional y demostramos que generaliza a la entera.

    Enunciado
  1. Demostrar que la función $(a/b)^\prime :\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ definida mediante $$\left(\frac{a}{b}\right)^\prime:=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2},$$ es una extensión de la derivada aritmética en $\mathbb{Z}$ y cumple la regla de Leibniz.
  2. Demostrar que es la única extensión que la cumple.
  3. Completar la tabla $$\begin{array}{r|*{7}{r}}{a} & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9\\\hline
    {}b& 3 & 3 & 5 & 5 & 7 & 8 & 10\\ \hline
    {}(a/b)^\prime & & & & & & &
    \end{array}$$
    Solución
  1. Veamos que $(a/b)^\prime$ está bien definida, es decir que no depende del representante de cada número racional. En efecto, si $0\ne k\in \mathbb{Z}$, $$\left(\frac{ka}{kb}\right)^\prime=\frac{(ka)^\prime(kb)-(kb)^\prime(ka)}{(kb)^2}=\frac{(k^\prime a+ka^\prime)(kb)-(k^\prime b+kb^\prime)(ka)}{(kb)^2}$$ $$=\frac{k^2(a^\prime b-b^\prime a)}{k^2b^2}=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^\prime.$$ Es una extensión de la derivada aritmética en los enteros pues $$\left(\frac{a}{1}\right)^\prime=\frac{a^\prime 1-1^\prime a}{1^2}=a^\prime.$$ Cumple la regla de Leibniz:$$\left(\frac{a}{b}\right)^\prime \left(\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\right) \left(\frac{c}{d}\right)^\prime=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2}\cdot\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot\frac{c^\prime d-d^\prime c}{b^2}$$ $$=\dfrac{(a^\prime c+ac^\prime)(bd)-(ac)(b^\prime d+bd^\prime)}{b^2d^2}=\frac{(ac)^\prime (bd)-(bd)^\prime (ac)}{(bc)^2}$$ $$=\left(\frac{ac}{bd}\right)^\prime=\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^\prime.$$
  2. No existe otra función de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}$ que extienda a la derivada aritmética en $\mathbb{Z}$ y que cumpla la regla de Leibniz. En efecto, tal derivada ha de cumplir $1^\prime=0$ y se cumplen las equivalencias $$1^\prime=0\Leftrightarrow \left(n\cdot\frac{1}{n}\right)^\prime=0\Leftrightarrow n^\prime\cdot \frac{1}{n}+n\cdot \left(\frac{1}{n}\right)^\prime=0\Leftrightarrow \left(\frac{1}{n}\right)^\prime=-\frac{n^\prime}{n^2}.$$ Es decir, necesariamente ha de ser $(1/n)^\prime=-n^\prime/n^2$ y de aquí se deduce que $$\left(\frac{a}{b}\right)^\prime=\left(a\cdot \frac{1}{b}\right)^\prime=a^\prime\cdot \frac{1}{b}+a\cdot\left(\frac{1}{b}\right)^\prime=\frac{a^\prime}{b}+a\cdot\frac{-b^\prime}{b^2}=\frac{a^\prime b-b^\prime a}{b^2}.$$
  3. Fácilmente verificamos:$$\begin{array}{r|*{7}{r}}{a} & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 7 & 9\\\hline
    {}b& 3 & 3 & 5 & 5 & 7 & 8 & 10\\ \hline
    {}(a/b)^\prime & -\dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{9} & \dfrac{16}{25} & 0 & \dfrac{29}{49} & -\dfrac{19}{16} &-\dfrac{1}{10}
    \end{array}$$
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