Propiedades de la derivada aritmética natural

Demostramos algunas propiedades de la derivada aritmética natural.

    Enunciado
  1. Demostrar que para $k,n$ enteros positivos se verifica $(n^k)^\prime= kn^{k-1}n^\prime.$
  2. Demostrar la fórmula de Leibniz para la derivada $k$-ésima del producto de dos números: $(ab)^{(k)}=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i)}.$
  3. Demostrar que la aditividad de la derivada $(a+b)^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime}$ se cumple en algunos casos y en otros no.
  4. Demostrar que
    $(1)\quad$ $(a+b)^{\prime}=a^{\prime}+b^{\prime}\Rightarrow (ka+kb)^{\prime}=(ka)^{\prime}+(kb)^{\prime}\quad \forall k\in\mathbb{N}.$
    $(2)\quad$ $(a+b)^{\prime}\ge a^{\prime}+b^{\prime}\Rightarrow (ka+kb)^{\prime}\ge(ka)^{\prime}+(kb)^{\prime}\quad \forall k\in\mathbb{N}.$
    $(3)\quad$ $(a+b)^{\prime}\le a^{\prime}+b^{\prime}\Rightarrow (ka+kb)^{\prime}\le(ka)^{\prime}+(kb)^{\prime}\quad \forall k\in\mathbb{N}.$
  5. Demostrar que para todo $k > 1$ número natural se verifica $$n^{\prime}\ge n \ge 1\Rightarrow (kn)^{\prime} > kn \qquad \forall n\ge 1.$$
    Solución
  1. Para $k=1$, $(n^1)^\prime= n^\prime=1n^{1-1}n^\prime$ y la fórmula se verifica. Para $k=2$, $(n^2)^\prime= (n\cdot n)^\prime=n^\prime n+nn^\prime=2nn^\prime$, y también se cumple. Si se cumple para $k$, $$\left(n^{k+1}\right)^\prime=\left(n^{k}n\right)^\prime=\left(n^{k}\right)^\prime n +n^{k}n^\prime=kn^{k-1}n^\prime n+n^{k}n^\prime=(k+1)n^kn^\prime,$$ y la fórmula es cierta para $k+1$.
  2. La fórmula es cierta para $k=1,$ en efecto $$(ab)^{(1)}=(ab)’=a’b+ab’$$ $$=\displaystyle\binom{1}{0}a^{(1)}b^{(0)}+\displaystyle\binom{1}{1}a^{(0)}b^{(1)}=\sum_{i=0}^1\binom{1}{i}a^{(1-i)}b^{(i)}.$$ Supongamos que la fórmula es cierta para $k.$ Entonces, $$(ab)^{(k+1)}=\biggl(\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i)}\biggr)^{\prime}
    =\sum_{i=0}^k \left(\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i)}\right)^{\prime}$$ $$=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\left(a^{(k-i+1)} b^{(i)}+a^{(k-i)} b^{(i+1)}\right)
    $$ $$=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a^{(k-i+1)} b^{(i)}+\sum_{i=0}^k\binom{k}{i} a^{(k-i)} b^{(i+1)}.$$ Haciendo un cambio de índices y usando las conocidas fórmulas combinatorias $\binom{k}{i}+\binom{k}{i-1}=\binom{k+1}{i}$, $\binom k 0=1=\binom{k+1} 0$, $\binom k k=1=\binom{k+1}{k+1}$ podemos escribir $$(ab)^{(k+1)}=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a^{(k-i+1)} b^{(i)}+\sum_{i=1}^{k+1}\binom{k}{i-1} a^{(k-i+1)} b^{(i)}$$ $$=\binom{k}{0}a^{(k+1)}b^{(0)}+\sum_{i=1}^k \binom{k}{i}a^{(k-i+1)} b^{(i)}$$ $$+\sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i-1} a^{(k-i+1)} b^{(i)}+\binom{k}{k}a^{(0)}b^{(k+1)}$$ $$=\binom{k+1}{0}a^{(k+1)}b^{(0)}+\sum_{i=1}^k \binom{k+1}{i}a^{(k+1-i)} b^{(i)}+\binom{k+1}{k+1}a^{(0)}b^{(k+1)}$$ $$=\sum_{i=0}^{k+1} \binom{k+1}{i}a^{(k+1-i)} b^{(i)},$$ lo cual implica que la fórmula es cierta para $k+1.$
  3. Por ejemplo $$\begin{aligned} & (1+2)^{\prime}=3^{\prime}=1=0+1=1^{\prime}+2^{\prime},\\
    & (3+5)^{\prime}=8^{\prime}=12,\; 3^{\prime}+5^{\prime}=1+1=2\Rightarrow (3+5)^{\prime}\ne 3^{\prime}+5^{\prime}.
    \end{aligned}$$
  4. Tenemos
    $(1)\;(ka+kb)’ =(k(a+b))’ =k’(a+b)+k(a+b)’=k’a+k’b+k(a’+b’)$
    $=(k’a+ka’)+(k’b+kb’)=(ka)’+(kb)’.$
    $(2)\;(ka+kb)’ =(k(a+b))’ =k’(a+b)+k(a+b)’\ge k’a+k’b+k(a’+b’)$
    $=(k’a+ka’)+(k’b+kb’)=(ka)’+(kb)’.$
    $(3)\;$ Análogo razonamiento.
  5. Si $k > 1$ entonces $k^{\prime}\ge 1$ con lo cual $k^{\prime}n\ge 1$. Entonces, $(kn)^{\prime}=k^{\prime}n+kn^{\prime} > kn^{\prime}\ge kn.$
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