Primeras ecuaciones diferenciales aritméticas

Estudiamos algunas ecuaciones diferenciales aritméticas sencillas.

    Enunciado
    Es natural plantear el problema de encontrar todos los números naturales que satisfacen a la ecuación diferencial aritmética
    $$a_kn^{(k)} +a_{k-1}n^{(k-1)}+\cdots+a_2n^{\prime\prime} +a_1n^\prime +a_0n=b$$ con los $a_i$ y $b$, números naturales. Vemos algunos ejemplos sencillos.
  1. Demostrar que el único entero positivo que satisface $n^{\prime}=0$ es $n=1$.
  2. Demostrar que los únicos números naturales $n$ que verifican $n^{\prime}=1$ son los primos.
  3. Demostrar que si $a-2$ es primo, la ecuación $n^\prime=a$ tiene al menos la solución $n=2(a-2)$.
  4. Demostrar que $n=p^p$ con $p$ primo es solución de la ecuación $n^{\prime}=n$
    Solución
  1. Sabemos que $1^{\prime}=0$ y si $n\ge 2$, entonces $n$ contiene algún factor primo con lo cual $n^{\prime} > 0$.
  2. Si $n$ es primo, entonces $n^{\prime}=1$ y si $n\ge 2$ no es primo, contiene al menos un par de primos $p_1,p_2$ en su factorización, es decir $n=p_1p_2\ldots$ y $n^{\prime}=n\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots\right) > 1$.
  3. En efecto, $(2(a-2))^\prime=2^\prime (a-2)+2(a-2)^\prime=a-2+2=a.$
  4. Tenemos $(p^p)^\prime=pp^{p-1}p^\prime=p^p$
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