Conjetura de Sophie Germain y derivada aritmética

Proporcionamos una equivalencia de la conjetura de Sophie Germain en términos de una ecuación diferencial aritmética.

    Enunciado
    Un número primo $p$ se dice que es un primo de Sophie Germain si $2p+1$ es también primo. Por ejemplo, $2$ es primo de Sophie Germain, y $7$ no lo es. Se ha conjeturado que existen infinitos primos de Sophie Germain, pero a día de hoy, esta conjetura ni se ha demostrado ni refutado.
  1. Demostrar que si $p$ es primo, entonces $(2^4p)^\prime = 2^4(2p + 1)$.
  2. Demostrar que para todo entero positivo $m$ se verifica la desigualdad $(2^4m)^{\prime\prime} \ge 2^4(4m + 3)$, con igualdad si y sólo si $m$ es un primo de Sophie Germain.
  3. Demostrar que la conjetura de Sophie Germain es cierta si y sólo si la ecuación diferencial aritmética $n^{\prime\prime} =4n+48$ tiene infinitas soluciones de la forma $n=2^4p$ con $p$ primo.
    Solución
  1. Tenemos $(2^4p)^\prime = (2^4)^\prime p+2^4p^\prime=4\cdot 2^3\cdot 2^\prime\cdot p+2^4\cdot 1=2^4(2p+1)$.
  2. Analicemos los casos $m$ primo y no primo. Si $m$ no es primo,
    $$\left(2^4m\right)^\prime=4\cdot 2^3m+2^4m^\prime=2^4(2m+m^\prime),$$ $$\left(2^4m\right)^{\prime\prime}=\left(2^4(2m+m^\prime)\right)^\prime=4\cdot 2^3(2m+m^\prime)+2^4(2m+m^\prime)^\prime$$ $$=2^4\left(4m+2m^\prime+(2m+m^\prime)^\prime\right) > 2^4 (4m+3).$$ Si $m$ es primo,
    $$\left(2^4m\right)^\prime=4\cdot 2^3m+2^4m^\prime=2^4(2m+m^\prime)=2^4(2m+1),$$ $$\left(2^4m\right)^{\prime\prime}=\left(2^4(2m+1)\right)^\prime=4\cdot 2^3(2m+1)+2^4(2m+1)^\prime$$ $$=2^4\left(4m+2+(2m+1)^\prime\right) \ge 2^4 (4m+3),$$ verificándose la igualdad si y sólo si $2m+1$ es también primo, es decir si y sólo si $m$ es un primo de Sophie Germain.
  3. Si la conjetura de Sophie Germain es cierta, segun el apartado anterior existen infinitos primos $p$ tales que $(2^4p)^\prime =2^4(4p+3)$ y llamando $n=2^4p$ queda la ecuación $n^{\prime\prime}=4n+48$. Recíprocamente, si la ecuación $n^{\prime\prime}=4n+48$ tiene infinitas soluciones de la forma $n=2^4p$, entonces $(2^4p)^\prime =2^4(4p+3)$ y sgún el apartado anterior, $p$ es primo de Sophie Germain.
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