Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas

Estudiamos la compatibilidad de la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas y proporcionamos la manera de hallar su solución general.

    Enunciado
    Una ecuación diofántica lineal en dos incógnitas es una ecuación de la $$ax+by=c,\quad (a,b,c\in\mathbb{Z},a\ne 0,b\ne 0).\qquad (E)$$ Se llama solución de la ecuación anterior a todo par de enteros $(x,y)$ que la satisface.
  1. Sea $d=\text{m.c.d.}\left(a,b\right).$ Demostrar que la ecuación $(E)$ tiene alguna solución $\Leftrightarrow d\mid c$.
  2. Hallar, si es posible, una solución particular de la ecuación diofántica $ 97x+35y=13.$
  3. Hallar, si es posible, una solución particular de la ecuación diofántica $14x+21y=11.$
  4. Sea la ecuación diofántica $ax+by=c$ con $d=\text{m.c.d.}\left(a,b\right)\mid c$. Demostrar que la solución general (i.e. todas las soluciones) de la ecuación es $$\left \{ \begin{matrix} x=x_0+k\dfrac{b}{d}\\ y=y_0-k\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right.\quad (k\in\mathbb{Z})$$ siendo $(x_0,y_0)$ una solución particular.
  5. Hallar la solución general de la ecuación diofántica $97x+35y=13.$
    Solución
  1. $\Rightarrow)$ Si la ecuación $(E)$ tiene una solución entera $(x_0,y_0)$, entonces $ax_0+by_0=c.$ Como $d\mid a$ y $d\mid b$, se verifica $d\mid ax_0+by_0=c.$
    $\Leftarrow)$ Tenemos $$\text{m.c.d.}\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)=1\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Id. Bezout}}\exists p,q\in\mathbb{Z}:p\frac{a}{d}+q\frac{b}{d}=1$$ $$\Rightarrow a\frac{pc}{d}+b\frac{qc}{d}=c.$$ Por hipótesis $d\mid c$ con lo cual $(x_0,y_0)=\left(\dfrac{pc}{d},\dfrac{qc}{d}\right)$ es solución de $(E).$ Nótese, que esto proporciona un método para hallar una solución particular de la ecuación diofántica $(E).$
  2. Usando el algortitmo de Euclides: $$\begin{array}{r|*{7}{r}}{} & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 2\\\hline {}97 & 35 & 27 & 8 & 3 & 2 & 1\\\hline {}27 & 8 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}$$ con lo cual $d=\text{m.c.d.}\left(97,35\right)=1\mid 13$ y la ecuación tiene soluciones. Tenemos las relaciones: $$\begin{aligned} & 3=1\cdot 2+1\\
    & 8=3\cdot 2+2 \\
    & 27=8\cdot 3+2 \\
    & 35= 1\cdot 27+8 \\
    & 97=2\cdot 35+27.
    \end{aligned}$$ Expresemos $d=1$ como combinación lineal de $97$ y $35$. Tenemos $$1=3-2=3-(8-3\cdot 2)=3\cdot 3-8=3\cdot (27-3\cdot 8)-8$$ $$=3\cdot 27-10\cdot 8=3\cdot 27-10\cdot (35-27)=13\cdot 27-10\cdot 35$$ $$=13\cdot (97-2\cdot 35)-10\cdot 35=\underbrace{13}_{p}\cdot 97+(\underbrace{-36}_{q})\cdot 35.$$ Según el apartado anterior, una solución particular de la ecuación diofántica es $$(x_0,y_0)=\left(\dfrac{pc}{d},\dfrac{qc}{d}\right)=(13\cdot 13,(-36)\cdot 13)=(169,-468).$$
  3. Tenemos $d=\text{m.c.d.}\left(14,21\right)=7$, que no divide a $11$, por tanto la ecuación no tiene soluciones.
  4. Como $d\mid c$, del apartado 1 deducimos que existe una solución particular $(x_0,y_0)$. Sea $(x_1,y_1)$ cualquier solución de la ecuación, entonces $$\left \{ \begin{matrix} \dfrac{a}{d}x_1+\dfrac{b}{d}y_1=\dfrac{c}{d}\\ \dfrac{a}{d}x_0+\dfrac{b}{d}y_0=\dfrac{c}{d}\end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{a}{d}(x_1-x_0)+\dfrac{b}{d}(y_1-y_0)=0$$ $$\Rightarrow \dfrac{a}{d}(x_1-x_0)=\dfrac{b}{d}(y_0-y_1)\Rightarrow \dfrac{b}{d}\mid \dfrac{a}{d}(x_1-x_0).$$ Pero $a/d$ y $b/d$ son primos entre si, por tanto $\frac{b}{d}\mid (x_1-x_0)$, con lo cual existe $k\in\mathbb{Z}$ tal que $x_1-x_0=k\frac{b}{d}$, luego $x_1=x_0+k\frac{b}{d}$. Sustituyendo en $$\dfrac{a}{d}(x_1-x_0)+\dfrac{b}{d}(y_1-y_0)=0,$$ $$\frac{a}{d}\cdot k\cdot \frac{b}{d}+\dfrac{b}{d}(y_1-y_0)=0\Rightarrow \frac{a}{d}\cdot k+y_1-y_0=0\Rightarrow y_1=y_0-k\frac{a}{d}.$$ Hemos demostrado que cualquier solución $(x_1,y_1)$ de la ecuación diofántica es necesariamente de la forma dada. Falta demostrar que son efectivamente soluciones. Pero, $$ax_1+by_1=a\left(x_0+k\dfrac{b}{d}\right)+b\left(y_0-k\dfrac{a}{d}\right)$$ $$=ax_0+ak\dfrac{b}{d}+by_0-bk\dfrac{a}{d}=ax_0+by_0=c.$$
  5. En el apartado 2 vimos que $d=1$ y que una solución particular es $(169,-468).$ Usando el teorema anterior, obtenemos la solución general:
    $$\begin{aligned} & x=169+35k\\
    & y=-468-97k
    \end{aligned}\quad (k\in\mathbb{Z}).$$
Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática. Guarda el enlace permanente.