Concepto de aplicación multilineal

Definimos el concepto de aplicación multilineal y proporcionamos varios ejemplos.

    Enunciado
    Sean $V_1,\ldots,V_n,V$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y sea $$\phi:V_1\times\ldots\times V_n\to V$$ una aplicación. Se dice que $\phi$ es multilineal si $\forall i=1,\ldots,n$ se verifica $$\begin{aligned} & (a)\;\; \phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n),\\ &(b)\;\;\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=\alpha \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n),
    \end{aligned}$$ en donde $v_i,v_i^\prime\in V_i$, $v_j\in V_j$ si $j\ne i$ y $\alpha\in K$.
    Nótese que el que $\phi$ es multilineal equivale a decir que la aplicación de $V_i$ en $V$ dada por $\phi (v_1,\ldots,v_{i-1},\bullet ,v_{i+1},\ldots,v_n)$ es lineal $\forall i=1,\ldots,n.$
    Si $n=2$, decimos que $\phi$ es una aplicación bilineal. Si $V=K$ decimos que $\phi$ es forma multilineal.
  1. Si $n=1$, demostrar que $\phi : V_1\to V$ es multilineal si y sólo si es lineal.
  2. Demostrar que la aplicación $\phi:V\times V^*\to K$ dada por $\phi (x,T)=T(x)$ es forma bilineal.
  3. Sea $\phi:\left(K^n\right)^n=K^n\times\ldots K^n\to K$ dada por $\phi (v_1,\ldots,v_n)=\det A$ siendo $A=[v_1\ldots v_n]$ matriz con columnas $v_1\ldots v_n.$ Demostrar que $\phi$ es multilineal.
  4. Sea $A$ un álgebra sobre $K$. Definimos $$\phi:A^n\to A,\quad \phi(v_1,v_2,\ldots,\,v_n)=v_1v_2\cdots v_n.$$ Demostrar que $\phi$ es multilineal.
  5. Nota. Como casos particulares tenemos las álgebras: $K^{n\times n}$ (matrices cuadradas ), $K[x]$ (polinomios), $C^k(I)$, $k=0,1,2,\ldots,\infty$ (funciones reales de clase $k$ en un intervalo cerrado $I=[a,b]$).
  6. Sea $\phi:V_1\times\ldots\times V_n\to V$ multilineal y $T:V\to W$ lineal. Demostrar que $T\circ \phi$ es multilineal.
  7. Demostrar que $\phi:\left(C^{\infty}(I)\right)^n\to C^{\infty}(I)$ dada por $\phi (f_1,\ldots, f_n)=(f_1\cdot\ldots \cdot f_n)^\prime$ es una aplicación multilineal.
  8. Si $C[a,b]$ es el álgebra de las funciones reales continuas en el intervalo $[a,b]$, demostrar que la aplicación $\phi:\left(C[a,b]\right)^n\to C[a,b]$ dada por $$\phi (f_1,\ldots, f_n)=\int_a^bf_1\cdot\ldots \cdot f_n$$ es multilineal.
    Solución
  1. Es consecuencia inmediata de la definición de aplicación multilineal.
  2. En efecto, $$\begin{aligned} & \phi (x+y,T)=T(x+y)=T(x)+T(y)=\phi (x,T)+\phi (y,T),\\
    & \phi (\alpha x,T)=T(\alpha x)=\alpha T(x)=\alpha \phi (x,T).
    \end{aligned}$$ Por otra parte, $$\begin{aligned} & \phi (x,T+S)=(T+S)(x)=T(x)+S(x)=\phi (x,T)+\phi (x,S),\\
    & \phi ( x,\alpha T)=(\alpha T)(x)=\alpha T(x)=\alpha \phi (x,T).
    \end{aligned}$$
  3. Usando conocidas propiedades de los determinantes, $$\phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=\det [v_1\ldots v_i+v_i^\prime\ldots v_n]$$ $$=\det [v_1\ldots v_i \ldots v_n]+\det [v_1 \ldots v_i^\prime \ldots v_n]$$ $$=\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n).$$ Por otra parte, $$\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=\det [v_1\ldots \alpha v_i\ldots v_n]$$ $$= \alpha\det [v_1\ldots v_i \ldots v_n]=\alpha \phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n).$$
  4. Usando las conocidas propiedades de un álgebra, $$\begin{aligned} & \phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=v_1\cdots (v_i+v_i^\prime)\cdots v_n\\ & =v_1\cdots v_i\cdots v_n+v_1\cdots v_i^\prime\cdots v_n\\
    & =\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n).\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} & \phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=v_1\cdots (\alpha v_i)\cdots v_n\\
    & =\alpha (v_1\cdots v_i\cdots v_n)=\alpha \phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n).
    \end{aligned}$$
  5. Tenemos $T\circ \phi:V_1\times\ldots\times V_n\to W$. Entonces, $$\begin{aligned} & (T\circ \phi) (v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=T\left[\phi (v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)\right]\\
    & =T\left[\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)\right]\\
    & = T\left[\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)\right]+T\left[\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)\right]\\
    & = (T\circ \phi)(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+(T\circ \phi)(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n).
    \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} & (T\circ \phi)(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=T\left[\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)\right]\\
    & =T\left[\alpha \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)\right]=\alpha T\left[ \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)\right]\\
    & =\alpha (T\circ \phi)(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n).
    \end{aligned}$$
  6. Claramente, el operador derivación $D:C^{\infty}(I)\to C^{\infty}(I)$ es lineal, y la aplicación $\phi_1:\left(C^{\infty}(I)\right)^n\to C^{\infty}(I)$ dada por $\phi_1 (f_1,\ldots, f_n)=f_1\cdot\ldots \cdot f_n$ es multilineal según el apartado 4. Pero $\phi=D\circ \phi_1$ que según el apartado 5 es multilineal.
  7. Claramente, el operador integración $\text{Int}:C[a,b]\to C[a,b]$ es lineal, y la aplicación $\phi_1:\left(C[a,b]\right)^n\to C[a,b]$ dada por $\phi_1 (f_1,\ldots, f_n)=f_1\cdot\ldots \cdot f_n$ es multilineal según el apartado 4. Pero $\phi=\text{Int}\circ \phi_1$ que según el apartado 5 es multilineal.
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