Espacio vectorial de las aplicaciones multilineales

Demostramos que el conjunto de las aplicaciones multilineales tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones usuales. También demostramos que para $n\ge 2$ la única aplcación muñtilineal de $V_1\times\ldots\times V_n$ en $V$ que también es lineal, es la aplicación nula.

    Enunciado
    Recordamos que si $X\ne \emptyset$ es un conjunto, $V$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $K$ y $V^X$, el conjunto de las aplicaciones de $X$ en $V$ entonces, $V^X$ es espacio vectorial sobre $K$ con las operaciones habituales $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ (suma) y $(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$ (producto por un escalar).
    Para $V_1,\ldots,V_n,V$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ denotamos por $\text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,V)$ al conjunto de todas las aplicaciones multilineales de $V_1\times\ldots\times V_n$ en $V$.
    Si $E$ y $F$ son dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$, se designa por $\text{Lin}_K(E,F)$ al espacio vectorial de las aplicaciones lineales $f:E\to F$.
  1. Demostrar que $\text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,V)$ es subespacio vectorial de $V^{V_1\times\ldots\times V_n}.$
  2. Demostrar que si $n\ge 2$ se verifica $$\text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,V) \cap \text{Lin}_K(V_1\times\ldots\times V_n,V)=\{0\}.$$
    Solución
  1. La aplicación nula es claramente multilineal. Si $\lambda, \mu \in K$ y $\phi,\varphi\in \text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,V)$, entonces, $$(\lambda\phi+\mu \varphi) (v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=(\lambda \phi)(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)$$ $$+(\mu \varphi)(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=\lambda\phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)$$ $$+\mu\varphi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)=\lambda [\phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)]$$ $$+\mu [\varphi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\varphi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)]$$ $$=\left[\lambda \phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\mu\varphi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)\right]$$ $$+\left[\lambda \phi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)+\mu\varphi(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)\right]$$ $$(\lambda \phi)(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+(\mu \varphi)(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)$$ $$+(\lambda \phi)(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)+(\mu \varphi)(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n)$$ $$=(\lambda \phi+\mu\varphi)(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+(\lambda \phi+\mu\varphi)(v_1,\ldots,v_i^\prime,\ldots,v_n),$$ y se satisface la primera condición de aplicación multilineal. Ahora, y para todo $\alpha\in K$, $$(\lambda\phi+\mu \varphi) (v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=(\lambda \phi)(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)$$ $$+(\mu \varphi)(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=\lambda\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)$$ $$+\mu\varphi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)=\alpha \lambda \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)+\alpha \mu \varphi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)$$ $$=\alpha [\lambda \phi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)+ \mu \varphi(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)]$$ $$=\alpha [(\lambda \phi)(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)+ (\mu \varphi)(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)]$$ $$=\alpha (\lambda\phi + \mu \varphi)(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n).$$ La aplicación $\lambda\phi+\mu \varphi$ es por tanto multilineal. Concluimos pues que $\text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,V)$ es subespacio vectorial de $V^{V_1\times\ldots\times V_n}.$
  2. Fijemos $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ y sea $\phi: V_1\times\ldots\times V_n \to V$ multilineal y lineal. Por ser multilineal se verifica $$\phi (v_1,\ldots,v_i+v_i,\ldots,v_n)=\phi (v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi (v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n).$$ Por ser lineal. se verifica $$\phi (v_1,\ldots,v_i+v_i,\ldots,v_n)=\phi (v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n)+\phi (0,\ldots,v_i,\ldots,0).$$ De las dos relaciones anteriores, $\phi (v_1,\ldots,,v_n)=\phi (0,\ldots,v_i,\ldots,0).$ De nuevo, por ser $\phi$ lineal, $$\phi (v_1,\ldots,v_n)=\phi\left(\sum_{i=1}^n(0,\ldots,v_i,\ldots,0))\right)=\sum_{i=1}^n\phi(0,\ldots,v_i,\ldots,0)$$ Restando a la última igualdad la $\phi (v_1,\ldots,,v_n)=\phi (0,\ldots,v_i,\ldots,0)$, obtenemos $\phi (v_1,\ldots,v_{i-1},0,v_{i+1},\ldots,v_n)=0.$ Ahora para $n\ge 2$, al ser $v_i$ arbitrario también lo es el subindice $i$ por tanto para todo $(v_1,\ldots,v_n)\in V_1\times \ldots\times V_n$ tenemos $\phi (v_1,\ldots,v_n)=\phi (0,v_2,\ldots,v_n)+\phi (v_1,0,\ldots,0)=0+0=0$.
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