Problema de la aplicación universal

Demostramos la unicidad salvo isomorfismos del problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales.

  • Introducción. En los apartados 6 y 7 de Concepto de aplicación multilineal vimos que una manera de construir aplicaciones multilineales sobre $V_1\times\ldots\times V_n $ es elegir una aplicación multilineal fija de $V_1\times\ldots\times V_n $ sobre $V$ y luego componerla con varias aplicaciones lineales de $V$ en otro espacio vectorial. Se plantea la siguiente pregunta: ¿podemos con una adecuada elección de $V$ construir todas las aplicaciones multilineales sobre $V_1\times\ldots\times V_n $ de esta manera?
    La respuesta a esta pregunta es afirmativa, y nos llevará a construir el producto tensorial de los espacios $V_1,\ldots , V_n $. De forma más precisa, planteamos el siguiente problema, llamado problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales.
  • Problema. Sean $V_1,\ldots, V_n $ espacios vectoriales sobre $K$, ¿existe un espacio vectorial $V$ sobre $K$ y una aplicación multilineal $\phi:V_1\times\ldots\times V_n \to V$ tal que para cada aplicación multilineal $\varphi:V_1\times\ldots\times V_n \to W $ existe una única $T\in\text{Lin}_K(V,W)$ tal que $\varphi=T\circ \phi$?
    En términos de diagrama conmutativo: ¿podemos construir una aplicación multilineal $\phi:V_1\times\ldots\times V_n \to V$ con la propiedad de que para toda $\varphi:V_1\times\ldots\times V_n \to W$ multilineal existe una única $T\in\text{Lin}_K(V,W)$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo?

  • Nótese que cualquier solución al problema planteado consiste en un par $(V,\phi)$ con $\phi:V_1\times\ldots\times V_n \to V$ multilineal. Antes de construir una solución al problema de la aplicación universal, demostremos que la solución es esencialmente única salvo isomorfismos.
  • Teorema. Sean $(V,\phi)$ y $(V^\prime,\phi^\prime)$ dos soluciones al problema de la aplicación universal. Entonces, existen dos isomorfismos $T_1\in \text{Lin}_K(V,V^\prime)$ y $T_2\in \text{Lin}_K(V^\prime, V)$ tales que
    $(a)\; T_1\circ T_2=I_V,\; T_2\circ T_1=I_{V^\prime}.$
    $(b)\;$ Los siguientes diagramas son conmutativos

  • Demostración. Como $(V,\phi)$ es solución al problema de la aplicación universal, existe un único $T_1\in \text{Lin}_K(V,V^\prime)$ tal que $T_1\circ \phi=\phi^\prime.$ Como $(V^\prime,\phi^\prime)$ también lo es, existe un único $T_2\in \text{Lin}_K(V^\prime,V)$ tal que $T_2\circ \phi^\prime=\phi.$ Esto demuestra que los dos diagramas dados son conmutativos. Por otra parte,
    $$\left(T_2\circ T_1\right)\circ \phi=T_2\circ \left(T_1\circ \phi\right)=T_2\circ \phi^\prime=\phi,$$ lo cual implica que el siguiente diagrama también es conmutativo

    Si sustituimos $T_2\circ T_1$ por $I_V$, el anterior diagrama también es conmutativo. Pero al ser $(V,\phi)$ es solución al problema de la aplicación universal, sólo hay una aplicación lineal tal que dicho diagrama es conmutativo lo cual implica que $T_2\circ T_1=I_V$. De manera análoga se demuestra que $T_1\circ T_2=I_{V^\prime}.$ $\qquad\square$

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