Espacio vectorial producto

Construimos el espacio vectorial producto de una colección cualquiera de espacios vectoriales.

Enunciado
Sea $\Delta$ un conjunto no vacío de índices y $\{V_i:i\in\Delta\}$ una colección de espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$. El conjunto producto cartesiano de los $V_i$ se define según sabemos como $$V=\prod_{i\in \Delta}V_i=\{f:\Delta\to \bigcup_{i\in \Delta}V_i:f\text{ es aplicación con }f(i)\in V_i\;\forall i\in \Delta\}.$$
Demostrar que $V$ es espacio vectorial con las operaciones:
Suma: para todo $f,g\in V,$ $(f+g)(i)=f(i)+g(i)$
Ley externa: Para todo $\alpha\in K$ y para todo $f\in V$, $(\alpha f)(i)=\alpha f(i).$
Nota. A $V$ se le llama espacio vectorial producto de los espacion $V_i$.

Solución
Veamos que $(V,+)$ es grupo abeliano.
Interna. Si $f,g\in V$, para todo $i\in \Delta$ se verifica $f(i)\in V_i$ y $g(i)\in V_i$ con lo cual $(f+g)(i)=f(i)+g(i)\in V_i$ luego $f+g\in V.$
Asociativa. Para todo $f,g,h\in V$ y para todo $i\in \Delta$, $$\left((f+g)+h\right)(i)=(f+g)(i)+h(i)=(f(i)+g(i))+h(i)$$ $$=f(i)+(g(i)+h(i))=f(i)+(g+h)(i)=(f+(g+h))(i)$$ $$\Rightarrow (f+g)+h=f+(g+h).$$ Conmutativa. Para todo $f,g\in V$ y para todo $i\in \Delta$, $$(f+g)(i)=f(i)+g(i)=g(i)+f(i)=(g+f)(i)\Rightarrow f+g=g+f.$$ Existencia de elemento neutro. Sea la aplicación $f_0(i)=0$ para todo $i\in\Delta.$ Claramente $f_0\in V$ y para toda $f\in V$ y para todo $i\in\Delta$, $$(f+f_0)(i)=f(i)+f_0(i)=f(i)+0=f(i)\Rightarrow f+f_0=f,$$ con lo cual $f_0$ es elemento neutro para la suma.
Existencia de elemento simétrico. Sea la aplicación $f\in V$ y definimos la aplicación $-f$ como $(-f)(i)=-f(i)$ para todo $i\in \Delta.$ Claramente $-f\in V$ y además $$(f+(-f))(i)=f(i)+(-f)(i)=f(i)-f(i)=0\;\forall i\in\Delta\Rightarrow f+(-f)=f_0,$$ con lo cual $-f$ es elemento simétrico de $f$ para la suma.
Veamos que se cumplen los cuatro axiomas de ley externa.
$(a)\;$ Para todo $f,g\in V$ para todo $\alpha\in K$ y para todo $i\in\Delta$, $$[\alpha (f+g)](i)=\alpha(f+g)(i)=\alpha (f(i)+g(i))=\alpha f(i)+\alpha g(i)$$ $$=(\alpha f)(i)+(\alpha g)(i)=(\alpha f+\alpha g)(i)\Rightarrow \alpha (f+g)=\alpha f+\alpha g.$$ $(b)\;$ Para todo $f\in V$ para todo $\alpha,\beta\in K$ y para todo $i\in\Delta$, $$[(\alpha +\beta)f](i)=(\alpha +\beta)f(i)=\alpha f(i)+\beta f(i)=(\alpha f)(i)+(\beta f)(i)$$ $$=(\alpha f+\beta f)(i)\Rightarrow (\alpha +\beta)f=\alpha f+\beta f.$$ $(c)\;$ Para todo $f\in V$ para todo $\alpha,\beta\in K$ y para todo $i\in\Delta$, $$[(\alpha \beta)f](i)=(\alpha \beta)f(i)=\alpha [\beta f(i)]=\alpha [(\beta f)(i)]=[\alpha (\beta f)](i)\Rightarrow (\alpha \beta)f=\alpha (\beta f).$$ $(d)\;$ Para todo $f\in V$ y para todo $i\in\Delta$, $$(1f)(i)=1f(i)=f(i)\Rightarrow 1f=f.$$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.