Producto tensorial

Definimos el producto tensorial de $n$ espacios vectoriales.

Vamos a resolver el problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales y que nos llevará a la contrucción del producto tensorial. Supongamos que el conjunto de índices $\Delta$ es un espacio vectorial. Entonces, tiene sentido en el espacio suma directa externa $U=\bigoplus_{i\in \Delta}K$ considerar vectores de la forma $$\delta_{(i_1+\ldots+i_n)}-\delta_{i_1}-\ldots-\delta_{(i_1+\ldots+i_n)},\quad \delta_{\alpha i}-\alpha\delta_{i}.$$ Sean ahora $V_1,\ldots,V_n$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $K$ y por simplicidad de notación, llamemos $Z=V_1\times \ldots\times V_n$. Consideremos $$U=\bigoplus_{(v_1,\ldots,v_n) \in Z }K$$ es decir, $U$ es la suma directa externa de $\left|Z\right|$ copias de $K$. Consideremos el subespacio $U_0$ de $U$ generado por vectores de la forma $$\begin{aligned}
& \delta_{(v_1,\ldots ,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n)},\\
& \delta_{(v_1,\ldots ,\alpha v_i,\ldots,v_n)}-\alpha \delta_{(v_1,\ldots , v_i,\ldots,v_n)}.
\end{aligned}\quad (*)$$ en donde $i$ varía de $1$ a $n$, y $\alpha$ recorre $K$. Por último, Consideremos el espacio vectorial cociente $V=U/U_0$ y la aplicación $$\phi: V_1\times \ldots\times V_n\to V,\quad \phi(v_1,\ldots,v_n)=\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}+U_0.$$ Teorema. El par $(V,\phi)$ es solución al problema de la aplicación universal para aplicaciones multilineales.
Demostración. Veamos que la aplicación $\phi$ es multilineal. Dado que $$\begin{aligned} & \delta_{(v_1,\ldots ,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n)}\in U_0,\\
& \delta_{(v_1,\ldots ,\alpha v_i,\ldots,v_n)}-\alpha \delta_{(v_1,\ldots , v_i,\ldots,v_n)}\in U_0,
\end{aligned}$$ y por definición de espacio cociente, podemos escribir $$\begin{aligned} \phi(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n) & =\delta_{(v_1,\ldots,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)}+U_0\\
& =\left(\delta_{(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)}+\delta_{(v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n)}\right)+U_0\\
& =\left(\delta_{(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)}+U_0\right)+\left(\delta_{(v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n)}+U_0\right)\\
& =\phi (v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)+\phi (v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n).
\end{aligned}$$ De manera análoga, $$\begin{aligned}\phi(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n) & =\delta_{(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_n)}+U_0\\
& =\alpha \delta_{(v_1,\ldots , v_i,\ldots,v_n)}+U_0\\
& =\alpha\left(\delta_{(v_1,\ldots , v_i,\ldots,v_n)}+U_0\right)\\
& =\alpha \phi(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_n),\\
\end{aligned}$$ y por tanto $\phi$ es multilineal.
Sea $\varphi:V_1\times\ldots\times V_n\to W$ una aplicación multilineal. Tenemos que demostrar que existe una única aplicación lineal $T:V\to W$ tal que $T\circ \phi=\varphi.$ Sabemos que $B=\{\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}:(v_1,\ldots,v_n)\in Z\}$ es base de $U$ y por tanto, existe una única aplicación lineal $T_0:U\to W$ tal que $T_0\left(\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}\right)=\varphi (v_1,\ldots,v_n)$ para todo $(v_1,\ldots,v_n)\in Z$. Como $\varphi$ es multilineal, anula a los generadores $(*)$ de $U_0$ y por tanto $U_0\subset \ker T_0$. Por un conocido teorema de isomorfía, $T_0$ induce una aplicación lineal $T:U/U_0\to W$ tal que $$T\left(\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}+U_0\right)=T_0\left(\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}\right)=\varphi(v_1,\ldots,v_n),$$ para todo $(v_1,\ldots,v_n)\in Z.$ Dado que $\phi (v_1,\ldots,v_n)=\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}+U_0$, se verifica $T\circ \phi=\varphi.$
Por último, supongamos que $T^\prime : V\to W$ es una aplicación lineal que verifica $T^\prime \circ\phi=\varphi$. Tenemos que demostrar que $T^\prime =T$. Dado que $T^\prime \circ\phi=\phi$, se verifica $T^\prime =T$ sobre $\text{Im }\phi$. Pero de la construcción de $V$ y $\phi$ es $\text{Im }\phi=V$ y por tanto $T^\prime =T$.

Definición. El espacio $V=U/U_0$ se llama producto tensorial de los espacios vectoriales $V_1,\ldots,V_n$ y se representa por $V_1\otimes_K\cdots \otimes_KV_n$ o simplemente por $V_1\otimes\cdots \otimes V_n$ cuando el cuerpo $K$ se sobreentienda.

Resumimos el proceso.
• Partimos de $n$ espacios vectoriales $V_1,\ldots,V_n$ sobre el cuerpo $K$.
• Construimos el espacio vectorial suma directa externa $$U=\bigoplus_{(v_1,\ldots,v_n) \in V_1\times \ldots \times V_n }K$$
• Consideramos el subespacio $U_0$ de $U$ generado por los vectores de la forma $$\begin{aligned}
  & \delta_{(v_1,\ldots ,v_i+v_i^\prime,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i,\ldots,v_n)}-\delta_{(v_1,\ldots, v_i^\prime,\ldots,v_n)},\\
  & \delta_{(v_1,\ldots ,\alpha v_i,\ldots,v_n)}-\alpha \delta_{(v_1,\ldots , v_i,\ldots,v_n)},
  \end{aligned}$$ con $\delta_i(j)=\delta_{ij}$ (deltas de Kronecker).
• El producto tensorial de los espacios $V_1,\ldots,V_n$ es por definición $$ V_1\otimes\cdots \otimes V_n:=U/U_0.$$
• El siguiente diagrama

  

  con $\phi(v_1,\ldots,v_n)=\delta_{(v_1,\ldots,v_n)}+U_0$ permite visualizar el objetivo del producto tensorial: toda forma multilineal $\varphi\in \text{Mul}_{K}(V_1\times\ldots\times V_n,W) $ es de la forma $\varphi=T\circ \phi$ con $T\in\text{Lin}_K( V_1\otimes\cdots \otimes V_n,W)$ única.