Desigualdad de Jensen

Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética.

Enunciado

El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos:
Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con $\mu (\Omega)=1$. Sea $f:\Omega \to\mathbb{R}$ tal que:
$a)$ $f\in L^1(\mu)$.
$b)$ $a < f(x) < b$ para todo $x\in (a,b).$
$c)$ $\varphi:(a,b)\to\mathbb{R}$ es convexa.
Entonces, se verifica la desigualdad de Jenssen $$\varphi \left(\int_{\Omega}fd\mu\right)\le\int_{\Omega} \left(\varphi\circ f\right)d\mu .$$ Sean $y_1,\ldots,y_n$ números positivos. Aplicar la desigualdad de Jensen para demostrar que $$\sqrt[n]{y_1 \ldots y_n}\le \dfrac{y_1+\ldots+y_n}{n}$$ es decir, que la media geométrica es menor o igual que la media aritmética.

Solución

Consideremos el espacio de medida $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ con $\Omega=\{p_1,\ldots,p_n\}$ un conjunto finito, $\mathscr{M}=\mathscr{P}(\Omega)$ y la medida $\mu$ determinada por $\mu(p_i)=1/n$ para todo $i=1,\ldots,n$. Se verifica $$\mu (\Omega)=\mu(p_1)+\ldots+\mu(p_n)=1/n+\ldots+1/n=1.$$ Consideremos ahora la función $f:\Omega\to\mathbb{R}$ dada por $f(p_i)=x_i$ para $x_i\in\mathbb{R}$ genéricos. La función $f$ es claramente simple y medible y $\int\left|f\right|d\mu=\sum_{i=1}^n \left|x_i\right|\mu(p_i) < +\infty$ es decir, $f\in L^1(\mu)$. Por otra parte, $a < f(x) < b$ para $$a < \min \{x_1,\ldots,x_n\},\quad \max \{x_1,\ldots,x_n\} < b.$$ Elijamos la función convexa en $(a,b)$ dada por $\varphi (x)=e^x$. Tenemos, $$\varphi \left(\int_{\Omega}fd\mu\right)=e^{\int_{\Omega}fd\mu}=e^{x_1(1/n)+\ldots+x_n(1/n)}=\sqrt[n]{e^{x_1}\ldots e^{x_n}},$$ $$\int_{\Omega} \left(\varphi\circ f\right)d\mu =\int_{\Omega}e^{f}d\mu=e^{x_1}\cdot \frac{1}{n}+\ldots +e^{x_n}\cdot \frac{1}{n}.$$ Por la desigualdad de Jensen, $$\sqrt[n]{e^{x_1}\ldots e^{x_n}}\le \frac{e^{x_1}+\ldots +e^{x_n}}{n}.$$ Dados los números positivos $y_1,\ldots,y_n$ y eligiendo $x_1,\ldots,x_n$ tales que $y_i=e^{x_i}$ para todo $i=1,\ldots,n$ queda $$\sqrt[n]{y_1 \ldots y_n}\le \dfrac{y_1+\ldots+y_n}{n}.$$

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