Topología final

Definimos la topología final y estudiamos propiedades de la misma.

    Enunciado
    Sea $f_i:(X,T_i)\to Y,i\in I$ una familia de aplicaciones de los espacios topológicos $(X_i,T_i)$ en el conjunto $Y$.
  1. Demostrar que $T_F=\{V\subset Y:f_i^{-1}(V)\in T_i\;\;\forall i\in T_i\}$ es una topología en $Y$. A la topología $T_F$ se la llama topología final determinada por las aplicaciones $f_i$.
  2. Demostrar que la topología final $T_F$ es la mayor topología en $Y$ de entre todas las que hacen a las $f_i$ continuas.
  3. Sea $f_i:(X,T_i)\to Y,i\in I$ una familia de aplicaciones de los espacios topológicos $(X_i,T_i)$ en el conjunto $Y$. Sea $(Z,T)$ un espacio topológico. Demostrar que una aplicación $g:(Y,T_F)\to (Z,T)$ es continua si y sólo si todas las composiciones $g\circ f_i$ son continuas.
  4. Recíprocamente, demostrar que si una topología $T^\prime$ en $Y$ cumple $$g:(Y,T^\prime)\to (Z,T) \text{ es continua}\Leftrightarrow g\circ f_i\text{ es continua para todo }i\in I$$ entonces, $T^\prime$ es la topología final $T_F.$
    Solución
  1. Se verifican los tres axiomas de topología:
    $(1)$ $f_i^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in T_i$ para todo $i\in I$ luego $\emptyset\in T_F$. Por orta parte, $f_i^{-1}(Y)=\emptyset\in T_i$ para todo $i\in I$ y por tanto $T\in T_F$.
    $(2)$ Si $\{V_j:j\in J\}$ es una colección de elementos de $T_F$, para todo $i\in I$ se verifica $$f_i^{-1}\left(\bigcup_{j\in J}V_j\right)=\bigcup_{j\in J}\underbrace{f_i^{-1}(V_j}_{\in T_i})\in T_i,$$ lo cual implica que $\cup_{j\in J}V_j\in T_F$.
    $(3)$ Si $V_1,V_2$ son elementos de $T_F$, para todo $i\in I$ se verifica $$f_i^{-1}\left(V_1\cap V_2\right)=\underbrace{f_i^{-1}(V_1)}_{\in T_i}\cap \underbrace{f_i^{-1}(V_2}_{\in T_i})\in T_i$$ lo cual implica que $V_1\cap V_2\in T_F$.
  2. En efecto, sea $T$ una topología en $Y$ tal que todas las $f_i$ son continuas. Si $V\in T$, entonces $f_i^{-1}(V)\in T_i$ para todo $i\in V$ y por tanto $V\in T_F.$ Es decir, $T\subset T_F.$
  3. La aplicaciones $f_i:(X_i,T_i)\to (Y,T_F)$ son continuas, por tanto si $g:(Y,T_F)\to (Z,T)$ es continua las $g\circ f_i$ también lo son (composición de continuas).
    Supongamos ahora que las aplicaciones $g\circ f_i$ son continuas. Si $W\in T$, $$f_i^{-1}(g^{-1}(W))=(g\circ f_i)^{-1}(W)\in T_i\text{ para todo }i,$$ con lo cual $g^{-1}(W)\in T_F$ y por tanto $g$ es continua.
  4. Consideremos las composiciones $$\begin{aligned}& f_i:(X,T_i)\xrightarrow{f_i} (Y,T^\prime)\xrightarrow{I_1}(Y,T_F),\\
    & f_i:(X,T_i)\xrightarrow{f_i} (Y,T_F)\xrightarrow{I_2}(Y,T^\prime),
    \end{aligned}$$ en donde tanto $I_1$ como $I_2$ representan la aplicación identidad en $Y.$ Por el apartado anterior, la continuidad de las aplicaciones $f_i=I_1\circ f_i$ para todo $i$ implica que $I_1$ es continua, por tanto si $V\in T_F$ entonces $I_1^{-1}(V)=V\in T^\prime$, es decir $T_F\subset T^\prime.$
    Por hipótesis, la continuidad de las aplicaciones $f_i=I_2\circ f_i$ para todo $i$ implica que $I_2$ es continua, por tanto si $V\in T^\prime$ entonces $I_2^{-1}(V)=V\in T_F$, es decir $T^\prime \subset T_F.$ Concluimos que $T^\prime$ es la topología final $T_F$.
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