Formas diferenciales de grado 1

  1. Ejemplo. Consideremos la expresión $$\omega=\left(3x+y^2+z \right)dx+\left(\log \left(x^2+y^2+z^2\right)\right)dy+\left(xyz\right)dz.$$ Las tres funciones $P,Q,R$ dadas por $$P(x,y,z)=3x+y^2+z,\; Q(x,y,z)=\log \left(x^2+y^2+z^2\right),\; R(x,y,z)=xyz,$$ están definidas en el abierto de $\mathbb{R}^3$, $U=\mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\}$. Fijando un punto $M=(x,y,z)$ de $U$ obtenemos la forma lineal o elemento de $\left(\mathbb{R}^3\right)^*$: $$\begin{aligned}& \omega (M):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\\ &\omega (M) (dx,dy,dz)=P(M)dx+Q(M)dy+R(M)dz.
    \end{aligned}$$ Precisamos esta idea en la siguiente definición.
  2. Definición. Sea llama forma diferencial de grado $p=1$ a toda aplicación de un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}^3$ en el dual de $\mathbb{R}^3$.
  3. Si $\omega$ es forma diferencial de grado $p=1$, tenemos $\omega:U\subset \mathbb{R}^3\to \left(\mathbb{R}^3\right)^*$ y para todo $M\in U$, al ser $\omega (M)\in \left(\mathbb{R}^3\right)^*$, la expresión de $\omega (M)$ será: $$\begin{aligned} & \omega (M):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\\
    & \omega (M)(u_1,u_2,u_3)=P(M)u_1+Q(M)u_2+R(M)u_3
    \end{aligned}$$ para todo $(u_1,u_2,u_3)\in \mathbb{R}^3$ con $P(M)$, $Q(M)$, $R(M)$ números reales determinados de manera única por $M$. Las formas lineales $dx(M)$, $dy(M)$, $dz(M)$ se definen como $$dx(M)(u_1,u_2,u_3)=u_1,\;dy(M)(u_1,u_2,u_3)=u_2,\;dz(M)(u_1,u_2,u_3)=u_3$$ con lo cual, podemos escribir $$\omega (M)(u_1,u_2,u_3)=P(M)dx(M)+Q(M)dy(M)+R(M)dz(M)$$ o más abreviadamente $$\boxed{\omega=Pdx+Qdy+Rdz.}$$
  4. Ejemplo. Si $f:U\subset \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ es una función diferenciable en el abierto $U$, entonces su diferencial $Df$ es una forma diferencial de grado $1$ dada por $$Df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz.$$
  5. Definición. Una forma diferencial $\omega$ se dice que es continua si las funciones $P,Q,R$ son continuas; que es de clase uno si las funciones $P,Q,R$ son de clase uno, etc.
  6. Definición. Dadas dos formas diferenciales $\omega_1=P_1dx+Q_1dy+R_1dz$, $\omega_2=P_2dx+Q_2dy+R_2dz$ de grado $1$ en $U$, entonces $\omega_1+\omega_2$ dada por $$\omega_1+\omega_2=(P_1+P_2)dx+(Q_1+Q_2)dy+(R_1+R_2)dz$$ es una forma diferencial de grado $1$ en $U$ (forma diferencial suma de $\omega_1$ y $\omega_2$). Si $\omega=Pdx+Qdy+Rdz$, es forma diferencialde grado $1$ en $U$ y $f$ una función real definida en $U$, entonces $f\omega$ dada por $$f\omega=(fP)dx+(fQ)dy+(fR)dz$$ es una forma diferencial de grado $1$ en $U$ (forma diferencial producto de la función escalar $f$ por $\omega$).
  7. Teorema. Con las operaciones suma y producto por un escalar definidas anteriormente, las formas diferenciales de grado $1$ en $U$ forman un módulo sobre el anillo conmutativo y unitario de las funciones reales en $U$.
    Demostración. Es completamente rutinaria la comprobación de los axiomas de módulo. $\qquad \square$
  8. Consideremos ahora un abierto $U$ de $\mathbb{R}^3$ y las funciones complejas $P,Q,R:U\to \mathbb{C}$. Es claro que la expresión $\omega=Pdx+Qdy+Rdz$ se puede escribir en la forma $\omega=$ $\omega_1+i\omega_2$ en donde $\omega_1$ y $\omega_2$ son formas diferenciales reales.
  9. Definición. Llamamos a $\omega=\omega_1+i\omega_2$ forma diferencial compleja.
  10. No hay prácticamente nada que cambiar en todo lo anteriormente expuesto si se sustituye $\mathbb{R}^3$ por $\mathbb{R}^n$. Toda forma diferencial de grado $1$ en un abierto $U$ de $\mathbb{R}^n$ se escribe en la forma $$\omega=P_1dx_1+P_2dx_2+\ldots+P_ndx_n.$$
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