Ecuación de Legendre

Estudiamos la ecuación de Legendre.

    Enunciado
    Se llama ecuación de Legendre a la ecuación diferencial $$(1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime +\alpha(\alpha+1)y=0\qquad (L)$$ con $\alpha$ real.
  1. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $$\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y.$$
  2. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $T(y)=\lambda y$ con $\lambda=\alpha (\alpha+1)$ y $T$ un operador de Sturm-Liouville.
  3. Demostrar que la ecuación de Legendre tiene dos soluciones analíticas en el intervalo $(-1,1)$ y que son linealmente independientes.
  4. Demostrar que $y=\sum_{n\ge 0}a_n x^n$ es solución de la ecuación de Legendre si y sólo si se verifica $$a_{n+2}=-\frac{(\alpha-n)(n+\alpha+1)}{(n+2)(n+1)}a_n\quad \forall n\ge 0.\qquad (*)$$
  5. Determinar $a_{n}$ en función de $a_0$ para $n$ par y en función de $a_1$ para $n$ impar.
  6. Determinar dos soluciones linealmente independientes de $(L)$ en el intervalo $(-1,1)$ y deducir la solución general.
    Solución
  1. Tenemos las equivalencias $$\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y\Leftrightarrow 2xy^\prime+(x^2-1)y^{\prime\prime}=\alpha (\alpha+1)y$$ $$\Leftrightarrow (1-x^2)y^{\prime\prime}-2xy^\prime +\alpha(\alpha+1)y=0.$$
  2. Recordamos que dadas dos funciones fijas $p,q\in C[a,b]$ un operador de Sturm-Liouville es una aplicación lineal de la forma $$T:E=\{f\in C^2[a,b]:p(a)f(a)=0 \;\wedge \;p(b)f(b)=0\}\to C[a,b]$$ dado por $T(f)=\left(pf^\prime\right)^\prime+qf.$ Si elegimos $p=x^2-1$ y $q=0$ tenemos que $p(1)=p(-1)=0$ y el correspondiente operador de Sturm-Liouville es $$T:E=\{f\in C^2[-1,1]:p(-1)f(-1)=p(1)f(1)=0\}\to C[-1,1]$$ dado por $T(y)=\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime.$ Pero $T(y)=\lambda y$ equivale a $\left((x^2-1)y^\prime\right)^\prime=\alpha (\alpha+1)y$, que según el apartado anterior es la ecuación de Legendre.
  3. Recordamos que una ecuación diferencial homogénea de segundo orden $y^{\prime\prime}+P(x)y^{\prime}+Q(x)y=0$ con coeficientes analíticos $P(x)$ y $Q(x)$ en un intervalo $(x_0-r,x_0+r)$ tiene dos soluciones analíticas y linealmente independientes en el mismo intervalo. Para $x\in (-1,1)$ la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma $$y^{\prime\prime}\underbrace{-\frac{2x}{1-x^2}}_{P(x)}y^\prime +\underbrace{\frac{\alpha(\alpha+1)}{1-x^2}}_{Q(x)}y=0.$$ Ahora bien, para $x\in (-1,1)$ se verifica $1/(1-x^2)=\sum_{n\ge 0}x^{2n}$ con lo cual, $P(x)$ y $Q(x)$ son analíticas en $(-1,1)$.
  4. Tenemos $$y=\sum_{n\ge 0} a_nx^n,\quad y^\prime=\sum_{n\ge 1} na_nx^{n-1},\quad y^{\prime\prime}=\sum_{n\ge 2} n(n-1)a_nx^{n-2}$$ $$2xy^\prime=\sum_{n\ge 1} 2na_nx^{n}=\sum_{n\ge 0} 2na_nx^{n}$$ $$(1-x^2)y^{\prime\prime}=\sum_{n\ge 2} n(n-1)a_nx^{n-2}-\sum_{n\ge 2} n(n-1)a_nx^{n}$$ $$=\sum_{n\ge 0} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum_{n\ge 0} n(n-1)a_nx^{n}$$ $$=\sum_{n\ge 0} \left[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n\right]x^n.$$ Sustituyendo en $(L)$ la ecuación se satisface si y sólo si se cumple la relación $$(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n-2na_n+\alpha(\alpha +1)=0$$ para todo $n\ge 0$. Operando, podemos escribir la relación anterior en la forma $$a_{n+2}=-\frac{(\alpha-n)(n+\alpha+1)}{(n+2)(n+1)}a_n.$$
  5. Para los coeficientes con índice par tenemos $$a_2=-\frac{\alpha(\alpha+1)}{1\cdot 2}a_0,$$ $$a_4=-\frac{(\alpha-2)(\alpha+3)}{3\cdot 4}a_2=(-1)^2\frac{\alpha (\alpha-2)(\alpha+1)(\alpha+3)}{4!}a_0,$$ y fácilmente se demuestra por inducción que $$a_{2n}=(-1)^n\frac{\alpha(\alpha-2)\cdots (\alpha-2n+2)(\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+2n-1)}{(2n)!}a_0.$$ Procediendo de manera análoga obtendríamos para los coeficientes con índice impar $$a_{2n+1}=(-1)^n\frac{(\alpha-1)(\alpha-3)\cdots (\alpha-2n+1)(\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2n)}{(2n)!}a_1.$$
  6. Consideremos las funciones $y_1,y_2:(-1,1)\to \mathbb{R}$ definidas por: $$y_1(x)=\sum_{n\ge 0}a_{2n}x^{2n}=$$ $$1+\sum_{n\ge 1}(-1)^n\frac{\alpha(\alpha-2)\cdots (\alpha-2n+2)(\alpha+1)(\alpha+3)\cdots(\alpha+2n-1)}{(2n)!}x^{2n}$$ $$y_2(x)=\sum_{n\ge 0}a_{2n+1}x^{2n+1}=$$ $$x+\sum_{n\ge 1}(-1)^n\frac{(\alpha-1)(\alpha-3)\cdots (\alpha-2n+1)(\alpha+2)(\alpha+4)\cdots(\alpha+2n)}{(2n)!}x^{2n+1}$$ funciones que están bien definidas pues las series que las determinan son convergentes en $(-1,1)$ (criterio del cociente). Las funciones $y_1$ e $y_2$ son soluciones de la ecuación de Lagrange pues los coeficientes de cada una de las series satisfacen las relaciones $(*)$. Las funciones $y_1,y_2$ son linealmente independientes. Efectivamente, tenemos $$y_1(x)=1+a_2x^2+a_4x^4+\ldots,\quad y_2
    (x)=x+a_3x^3+a_5x^5+\ldots$$ con lo cual $y_1(0)=1$, $y_1^\prime (0)=0$, $y_2(0)=0$, $y_2^\prime (0)=1$. Si $\lambda_1y_1(x)+\lambda_2y_2(x)=0$ entonces $\lambda_1y_1^\prime(x)+\lambda_2y_2^\prime(x)=0$ y sustituyendo $x=0$ en las dos igualdades anteriores, obtenemos $\lambda_1=\lambda_2=0$. La solución general de la ecuación de Legendre es por tanto: $$y(x)=a_0y_1(x)+a_1y_2(x),\quad a_0,a_1\in\mathbb{R}.$$ Nota. Obsérvese que por la forma de los coeficientes de las funciones $y_1(x)$ e $y_2(x)$, si $\alpha=2k$ con $k\ge 0$ entero entonces $y_1(x)$ es un polinomio de grado $2k$ que sólo contiene potencias pares de $x$. Si $\alpha=2k+1$ con $k\ge 0$ entero entonces $y_2(x)$ es un polinomio de grado $2k+1$ que sólo contiene potencias impares de $x$.

Versión pdf:

Esta entrada fue publicada en Ecuaciones diferenciales. Guarda el enlace permanente.