Iteración de punto fijo

Estudiamos las bases teóricas del método de la iteración de punto fijo para la resolución aproximada de ecuaciones.

    Enunciado
    Sea una función $g:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Se dice que $p\in D$ es punto fijo de $g$ si se verifica $g(p)=p.$
  1. Sea una función $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $p\in D.$ Demostrar que $$p\text{ es cero o raíz de }f\Leftrightarrow p\text{ es punto fijo de }g(x)=x-f(x).$$
  2. Sea $g\in C[a,b]$ tal que $g(x)\in [a,b]$ para todo $x\in [a,b]$. Demostrar que
    $i)$ $g$ tiene un punto fijo en $[a,b].$
    $ii)$ Si además, $g$ es derivable en $(a,b)$ y existe constante $k$ con $0 < k < 1$ tal que $\left|g^\prime (x)\right|\le k$ para todo $x\in (a,b)$, el punto fijo de $g$ es único.
  3. Demostrar el Teorema del punto fijo:
    Sea $g\in C[a,b]$ tal que $g(x)\in [a,b]$ para todo $x\in [a,b]$. Supongamos además además, $g$ es derivable en $(a,b)$ y que existe constante $k$ con $0 < k < 1$ tal que $\left|g^\prime (x)\right|\le k$ para todo $x\in (a,b)$. Entonces, la sucesión $$p_n=g\left(p_{n-1}\right),\quad n\ge 1$$ converge al único punto fijo $p$ en $[a,b]$ (método de iteración de punto fijo).
  4. Demostrar que en las hipótesis del teorema del punto fijo, se verifican para todo $n\ge 1$ las acotaciones de la sucesión de iteración de punto fijo: $$\begin{aligned}& (a)\;\;\left|p_n-p\right|\le k^n\cdot\max \{p_0-a,b-p_0\}.\\
    & (b)\;\; \left|p_n-p\right|\le \frac{k^n}{1-k}\left|p_1-p_0\right|.
    \end{aligned}$$
  5. Aplicación. Se considera la función $g:[-1,1]\to \mathbb{R}$ dada por $g(x)=(x^2-1)/3$.
    $a)$ Demostrar que $g$ satisface las hipótesis del teorema del punto fijo.
    $b)$ Calcular el $p_3$ de la iteración de punto fijo con $p_0=-1$.
    $c)$ Determinar a partir de qué $n$ la iteración de punto fijo proporciona $p$ con tres cifras decimales exactas.
    $d)$ Demostrar que la iteración de punto fijo proporciona en el caso presente una sucesión convergente a la única solución de la ecuación $x^2-3x-1=0$ en $[-1,1]$. Dar una fórmula cerrada para esta solución.
    Solución
  1. $\Rightarrow)$ Si $p$ es cero o raíz de $f$ entonces $g(p)=p-f(p)=p-0=p$ es decir, $p$ es punto fijo de $g$.
    $\Leftarrow)$ Si $p$ es punto fijo de $g$ entonces $f(p)=p-g(p)=p-p=0$ es decir, $p$ es raíz de $f$.
  2. $i)$ Si $g(a)=0$ o $g(b)=0$, un punto fijo es $p=a$ o $p=b$. En caso contrario se verifica $g(a) > a$ y $g(b) < b$. La función $h(x)= g(x) -x$ es continua en $[a,b]$ y verifica $h(a) > 0$ y $h(b) < 0$. Por el teorema de Bolzano, existe $p\in (a,b)$ tal que $0=h(p)=$ $g(p)-p$, con lo cual $g(p)=p$ y $p$ es por tanto punto fijo de $g$.
    $ii)$ Supongamos que existieran dos puntos fijos $p,q$ distintos con $p < q$. Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a la función $g$ en el intervalo $[p,q]$: $$\exists \xi \in (p,q):g^\prime(\xi)=\frac{g(q)-g(p)}{q-p}\Rightarrow \left|q-p\right|$$ $$= \left|g(q)-g(p)\right|=\left|g^\prime (\xi)\right|\left|q-p\right|\le k\left|q-p\right| < \left|q-p\right|$$ lo cual es absurdo por tanto, el punto fijo es único.
  3. Por el apartado anterior, existe un único punto fijo $p$. Como $g([a,b])\subset [a,b]$, la sucesión $p_n$ está bien definida. Dado que $\left|g^\prime (x)\right|\le k$ para todo $x\in (a,b)$ y por el teorema del valor medio de Lagrange, $$\left|p_n-p\right|=\left|g(p_{n-1})-g(p)\right|=\left|g^\prime (\xi_n)\right|\left|p_{n-1}-p\right|\le k \left|p_{n-1}-p\right|$$ en donde $\xi_n\in (a,b).$ Reiterando obtenemos $$\left|p_n-p\right|\le k \left|p_{n-1}-p\right|\le k^2 \left|p_{n-2}-p\right|\le \ldots \le k^n \left|p_{0}-p\right|.$$ Al ser $0 < k < 1$ se verifica $\lim_{n\to +\infty}\left|p_n-p\right|\le \lim_{n\to +\infty}k^n \left|p_{0}-p\right|=0,$ y por tanto la sucesión $p_n$ converge a $p.$
  4. $(a)$ En la demostración del teorema del punto fijo se probó que $\left|p_n-p\right|\le k^n \left|p_0-p\right|$, pero se verifica $\left|p_0-p\right|\le \max \{p_0-a,b-p_0\}.$
    $(b)$ Tenemos las desigualdades $$\left|p_{n+1}-p_n\right|=\left|g(p_{n})-g(p_{n-1})\right|\le k \left|p_{n}-p_{n-1}\right|\le \ldots \le k^n \left|p_{1}-p_0\right|.$$ Entonces, para $m > n \ge 1$, $$\left|p_{m}-p_n\right|=\left|p_{m}-p_{m-1}+p_{m-1}-\cdots +p_{n+1}-p_n\right|$$ $$\le \left|p_{m}-p_{m-1}\right|+\left|p_{m-1}-p_{m-2}\right|+\cdots +\left|p_{n+1}-p_{n}\right|$$ $$\le k^{m-1}\left|p_{1}-p_{0}\right|+k^{m-2}\left|p_{1}-p_{0}\right|+\cdots +k^n\left|p_{1}-p_{0}\right|$$ $$=k^n(1+k+k^2+\cdots+k^{m-n-1})\left|p_1-p_0\right|.$$ Se verifica $\lim_{n\to +\infty}p_n=p$, por tanto $$\left|p-p_n\right|=\lim_{m\to +\infty}\left|p_m-p_n\right|\le k^n \left|p_1-p_0\right|\sum_{j=0}^{m-n-1}k^j$$ $$\le k^n \left|p_1-p_0\right|\sum_{j=0}^{+\infty}k^j=\frac{k^n}{1-k}\left|p_1-p_0\right|.$$
  5. $a)$ La función $g$ es polinómica y por tanto continua en $[-1,1]$. Es derivable en $(-1,1)$ con derivada $g^\prime (x)=2x/3$. El único punto crítico de $g$ es $x=0$. Tenemos $g(0)=-1/3$, $g(-1)=g(1)=0$, por tanto el mínimo absoluto de $g$ en $[-1,1]$ es $-1/3$ y el máximo absoluto $0$. Esto demuestra que $g([-1,1])\subset [-1,1]$. Además, se verifica $$\left|g^\prime(x)\right|=\left|\frac{2x}{3}\right|\le \frac{2}{3}\text{ para todo }x\in(-1,1),$$ lo cual demuestra que se verifican las hipótesis del teorema del punto fijo.
    $b)$ Para $p_0=-1$ tenemos $$\begin{aligned}
    & p_1=g(p_0)=g(-1)=-\frac{1}{3},\\
    & p_2=g(p_1)=g(-1/3)=\frac{1/9-1}{3}=-\frac{8}{27},\\
    & p_3=g(p_2)=g(-8/27)=\frac{64/729-1}{3}=-\frac{665}{2187}.
    \end{aligned}$$ $c)$ Usando la acotación $\left|p_n-p\right|\le k^n\cdot\max \{p_0-a,b-p_0\}$, tenemos en nuestro caso $\left|p_n-p\right|\le (2/3)^n\cdot\max \{0,2\}=2(2/3)^n.$ Entonces, $$\left|p_n-p\right|\le 2\left(\frac{2}{3}\right)^n < 10^{-3} \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n < \frac{10^{-3}}{2}\Leftrightarrow n\log_{10}\frac{2}{3} < -3-\log _{10}2$$ $$\underbrace{\Leftrightarrow}_{log_{10}(2/3) < 0} n > \frac{-3-\log _{10}2}{\log_{10}\frac{2}{3}}=20.97\ldots, $$ con lo cual $n=21$.
    $d)$ Sabemos que $p$ es punto fijo de $g$ si y sólo si $p$ es raíz de $f(x)=x-g(x)$. En nuestro caso, $$f(x)=0\Leftrightarrow x-g(x)=0\Leftrightarrow x-\frac{x^2-1}{3}=0\Leftrightarrow \frac{3x-x^2+1}{3}=0,$$ lo cual equivale a $x^2-3x-1=0$. Las soluciones de esta ecuación son $(3\pm\sqrt{13})/2$ y sólo $(3-\sqrt{13})/2\in [-1,1].$ Por tanto, el límite de la iteración de punto fijo es $p=(3-\sqrt{13})/2$.

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