Espacios $l_p$

Definimos los espacios $l_p$ y estudiamos algunas de sus propiedades.

    Enunciado
    Designamos por $\mathbb{K}$ al cuerpo de los números reales o complejos indistintamente. Sabemos que en el espacio vectorial $\mathbb{K}^n$ y para todo $p\in [1,+\infty)$ se definen la normas $$ \left\|x\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p},\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{K}^n,$$ y también la norma $\left\|x\right\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\ldots,\left|x_n\right|\right\}.$ Generalizaremos estos conceptos a $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$
  1. Sea $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ el espacio vectorial de las sucesiones en $\mathbb{K}$ con las operaciones habituales. Para cada $p\in[1,+\infty)$ se define el subconjunto de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$: $$l_p:=\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}: \sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p\ < +\infty\}.$$ Demostrar que $l_p$ es subespacio vectorial de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ y que $ \left\|x\right\|_p=\left(\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p\right)^{1/p}$ es una norma en $l_p$.
  2. Demostrar que $l_p$ es espacio de Banach para todo $p\in [1,+\infty).$
  3. Demostrar que para todo $p\in[1,+\infty)$ la dimensión de $l_p$ es infinita.
  4. Demostrar que para $1 \le p < q <+\infty$ se verifica $l_p\subsetneq l_q.$ Es decir $l_p$ se agranda de manera estricta al aumentar $p.$
  5. Se define el subconjunto de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:$ $$l_{\infty}:=\left\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}:\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\} < +\infty\right\}$$ es decir, $l_{\infty}$ está formado por las sucesiones en $\mathbb{K}$ acotadas. Demostrar que $l_\infty$ es subespacio vectorial de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ de dimensión infinita y que $ \left\|x\right\|_\infty=\sup \{|x_k|:k\in\mathbb{N}\}$ es una norma en $l_\infty.$
  6. Demostrar que $l_p\subsetneq l_\infty$ para todo $p\in [1,+\infty).$
  7. Demostrar que $l_\infty$ es espacio de Banach.
    Solución
  1. La sucesión nula $0=(0)$ claramente pertenece a $l_p.$ Si $x=(x_k)$ e $y=(y_k)$ pertenecen a $l_p$ entonces $\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p\ < +\infty$ y $\sum_{k=1}^{+\infty} |y_k|^p\ < +\infty$. Usando la desigualdad de Minkowski, $$\left(\sum_{k=1}^{n} |x_k+y_k|^p\right)^{1/p}\le \left(\sum_{k=1}^{n} \left(|x_k|+|y_k|\right)^p\right)^{1/p}$$ $$\le \left(\sum_{k=1}^{n} |x_k|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^{n} |y_k|^p\right)^{1/p}.$$ Tomando límites cuando $n\to +\infty$, $$\left(\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k+y_k|^p\right)^{1/p}\le \left(\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^{+\infty} |y_k|^p\right)^{1/p} < +\infty,\qquad (1)$$ con lo cual $x+y\in l_p.$ Si $\lambda\in \mathbb{K}$ y $x\in l_p$ entonces, $$\sum_{k=1}^{+\infty} |\lambda x_k|^p=|\lambda|^p\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p < +\infty,\qquad (2)$$ con lo cual $\lambda x\in l_p$ y $l_p$ es subespacio vectorial de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}.$ Es claro que $\left\|x\right\|_p=0$ si y sólo si $x=0$ y las relaciones $\left\|\lambda x\right\|_p=|\lambda|\left\| x\right\|_p$ y $\left\|x+y\right\|_p\le \left\|x\right\|_p+\left\|y\right\|_p$ se deducen inmediatamente de las relaciones $(2)$ y $(1)$ respectivamente. Por tanto, $\left\|\;\right\|_p$ es norma en $l_p.$
  2. Sea $X_n=(x_{nk})$ una sucesión de Cauchy de elementos de $l_p.$ Para todo par de números naturales $m,n$ se verifica $\left|x_{nk}-x_{mk}\right|=\left(\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^p\right)^{1/p}\le \left\|X_n-X_m\right\|_p.$ Como $X_n$ es sucesión de Cauchy, también lo es $x_{nk}$ para todo $k$ y al ser $\mathbb{K}$ completo, podemos definir $x_k:=\lim_{n\to +\infty}x_{nk}.$ Veamos que la sucesión $X=(x_k)$ pertenece a $l_p$ y que $X_n\to X$ con lo cual estará demostrado que $l_p$ es completo.
    Al ser $X_n$ de Cauchy en $l_p$, para todo $\epsilon > 0$ existe $n_0$ natural tal que para $m,n\ge n_0$ se verifica $ \left\|X_n-X_m\right\|_p < \epsilon.$ Para todo $N$ natural tenemos $$\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^p \le \left(\left\|X_n-X_m\right\|_p \right)^p\le \epsilon^p.$$ Tomando límites cuando $m\to +\infty$ $$\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{k}\right|^p=\lim_{m\to +\infty}\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^p \le \epsilon^p,$$ y al ser $N$ cualquiera, $\sum_{k=1}^{+\infty}\left|x_{nk}-x_{k}\right|^p \le \epsilon^p$ y por tanto $X_n-X\in l_p.$ Ahora bien $X=X_n-(X_n-X)$ con lo cual $X\in l_p.$ Por la última desigualdad $\left\|X_n-X\right\|_p < \epsilon$ para $n\ge n_0$ es decir, $X_n$ converge a $X.$
  3. Consideremos para cada $n$ natural los elementos de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ dados por $e_n=(x_k)$ con $x_k=1$ si $k=n$ y $x_k=0$ si $k\ne n$. Es claro que el sistema $\{e_n:n\in\mathbb{N}\}$ es libre, tiene infinitos elementos y está contenido en $l_p$ para todo $p\in[1,+\infty)$, luego la dimensión de $l_p$ es infinita.
  4. Si $x=(x_k)\in l_p$ entonces $\sum_{k=1}^{+\infty}\left|x_k\right|^p$ es convergente y por tanto $\lim_{k\to +\infty}x_k=0$ con lo cual $\left|x_k \right|^q\le \left|x_k \right|^p$ para $k$ suficientemente grande. Por el teorema de comparación para series de términos positivos, la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\left|x_k\right|^q$ converge, luego $x\in l_q.$
    El contenido $l_p\subset l_q$ es estricto. En efecto, consideremos la sucesión $y=(k^{-1/p}).$ Entonces, $$\sum_{k=1}^{+\infty}\left|y_k \right|^p=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}\text{ (divergente)},\quad\sum_{k=1}^{+\infty}\left|y_k \right|^q=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{q/p}}\text{ (convergente)},$$ por tanto $y\notin l_p$ e $y\in l_q.$
  5. Es claro que la sucesión nula está acotada, que la suma de dos acotadas está acotada y que el producto de un escalar por una acotada está acotada, por tanto $l_\infty$ es subespacio vectorial de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}.$ La familia $\{e_n=(x_k):n\in\mathbb{N}\}$ con $x_k=1$ si $k=n$ y $x_k=0$ si $k\ne n$ es libre y está contenida en $l_\infty,$ por tanto $l_\infty$ tiene dimensión infinita. Veamos que $\left\|\;\right\|_\infty$ es norma en $l_\infty.$ $$\left\|x\right\|_\infty=0\Leftrightarrow \sup\{|x_k|:k\in\mathbb{N}\}=0\Leftrightarrow |x_k|=0\;\forall k\in\mathbb{N}$$ $$\Leftrightarrow x_k=0\;\forall k\in\mathbb{N}\Leftrightarrow x=(0).$$ Para $\lambda\in\mathbb{K}$ y $x=(x_k)\in l_\infty,$ $$\left\|\lambda x\right\|_\infty=\sup\{|\lambda x_k|:k\in\mathbb{N}\}=\sup\{|\lambda|| x_k|:k\in\mathbb{N}\}$$ $$=|\lambda|\sup\{| x_k|:k\in\mathbb{N}\}=|\lambda| \left\|x\right\|_\infty.$$ Por último, para $x=(x_k)$ e $y=(y_k)$ elementos de $l_\infty,$ $$\left\|x+y\right\|_\infty=\sup\{|x_k+y_k|:k\in\mathbb{N}\}\le \sup\{|x_k|+|y_k|:k\in\mathbb{N}\}$$ $$\le \sup\{|x_k|:k\in\mathbb{N}\}+\sup\{|y_k|:k\in\mathbb{N}\}=\left\|x\right\|_\infty+\left\|y\right\|_\infty.$$
  6. Si $x=(x_k)\in l_p$ entonces, $\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p$ es convergente y por tanto $x_k\to 0$ lo cual implica que $x=(x_k)$ está acotada. Por otra parte, la sucesión constante $x=(1)$ pertenece a $l_\infty$ pero no a $l_p.$
  7. Sea $X_n=(x_{nk})$ una sucesión de Cauchy de elementos de $l_\infty.$ Para todo par de números naturales $m,n$ se verifica $\left|x_{nk}-x_{mk}\right|\le\sup\{|x_{nk}-x_{mk}|:k\in\mathbb{N}\} \le \left\|X_n-X_m\right\|_\infty.$ Como $X_n$ es sucesión de Cauchy, también lo es $x_{nk}$ para todo $k$ y al ser $\mathbb{K}$ completo, podemos definir $x_k:=\lim_{n\to +\infty}x_{nk}.$ Veamos que la sucesión $X=(x_k)$ pertenece a $l_\infty$ y que $X_n\to X$ con lo cual estará demostrado que $l_\infty$ es completo.

    Si $\epsilon > 0$ existe $n_0$ natural tal que $|x_{nk}-x_{mk}| < \epsilon/2$ para todo $k$ y para todo $m,n\ge n_0.$ Haciendo $m\to +\infty$ obtenemos $|x_{nk}-x_{k}| \le \epsilon/2$ y tomando supremos sobre $k,$ $$\sup\{|x_{nk}-x_{k}|:k\in\mathbb{N}\}\le \epsilon/2$$ para todo $n\ge n_0,$ es decir $\left\|X_n-X\right\|_\infty < \epsilon$ si $n\ge n_0$ lo cual prueba que $X_n\to X.$ Por otra parte, es claro que $X$ está acotada, luego $X\in l_\infty.$

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