Concepto de espacio topológico

Proporcionamos ejercicios resueltos sobre los conceptos de topología y de espacio topológico.

    Enunciados
  1. Definición. Si $X$ es un conjunto no vacío, se llama topología en $X$ a cualquier colección $T$ de subconjuntos de $X$ que satisface los axiomas:
    $(1)$ $\emptyset,X\in T$.
    $(2)$ Si $A$ y $B$ son elementos de $T,$ entonces $A\cap B\in T.$
    $(3)$ Si $\{A_i:i\in I\}$ es una familia de elementos de $T,$ entonces $\bigcup_{i\in I}A_i\in T.$
    A los elementos de $T$ se les llama conjuntos abiertos y al par $(X,T),$ espacio topológico. Si no ha lugar a confusiones, al espacio topológico $(X,T)$ se le designará simplemente por $X.$
    Se considera el conjunto $X=\{1,2,3,4,5\}.$ Demostrar que $T$ es topología en $X,$ siendo $T=\left\{\emptyset, X,\{1\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4,5\}\right\}.$
  2. Se considera el conjunto $X=\{1,2,3,4,5\}.$ Demostrar que $T$ no es topología en $X,$ siendo $T=\left\{\emptyset, X,\{1\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}\right\}.$
  3. Se considera el conjunto $X=\{1,2,3,4,5\}.$ Demostrar que $T$ no es topología en $X,$ siendo $T=\left\{\emptyset, X,\{1\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,4,5\}\right\}.$
  4. Sea $X\ne \emptyset$ y $T=P(X)$ (conjunto de las partes de $X$). Demostrar que $T$ es topología en $X.$ Se la llama topología discreta.
  5. Sea $X\ne \emptyset$ y $T=\{\emptyset,X\}$ Demostrar que $T$ es topología en $X.$ Se la llama topología indiscreta.
  6. Sea $X\ne \emptyset$ y $T=\{\emptyset\}\cup\{A\subset X: A^c\text{ es finito}\}.$ Demostrar que $T$ es topología en $X.$ Se la llama topología de los complementos finitos.
  7. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$ fijo. Demostrar que $T=\{\emptyset\}\cup\{A\subset X: p\in X\}$ es un topología en $X.$ Se la llama topología del punto particular.
  8. Para todo $n\in\mathbb{N}$ se define $S_n=\{n.n+1,n+2,\ldots\}$. Demostrar que $T=\{\emptyset\}\cup\{S_n:n\in\mathbb{N}\}$ es una topología en $\mathbb{N}.$ Determinar todos los abiertos que contienen al número natural $n_0.$
  9. Demostrar que $T=\{\emptyset,\mathbb{R}\}\cup \{I_q:q\in \mathbb{Q}\}$ con $I_q=(0,+\infty)$ no es una topología en $\mathbb{R}.$
  10. Sea $X\ne\emptyset$ un conjunto e $(Y,T^\prime)$ un espacio topológico. Sea $f:X\to Y$ una aplicación. Demostrar que $T=\{f^{-1}(G):G\in T^\prime\}$ es topología en $X.$
  11. Sea $(X,T)$ un espacio topológico tal que para todo $x\in X$ el conjunto unitario $\{x\}$ es abierto. Demostrar que $T$ es la topología discreta.
  12. Sea $X$ un conjunto infinito y $T$ una topología sobre $X$ en la cual todos los subconjuntos infinitos de $X$ son abiertos. Demostrar que $T$ es la topología discreta.
  13. Demostrar el siguiente teorema:
    Teorema. Sea $\{T_i:i\in I\}$ una familia de topologías en un conjunto $X.$ Entonces, la intersección $T=\bigcap_i T_i$ es también una topología en $X.$
  14. Demostrar la unión de dos topologías en $X$ no tiene por qué ser topología en $X.$
  15. Definición. Sean $T$ y $T^\prime$ dos topologías en $X.$ Se dice que $T$ es menos fina que $T^\prime$ o bien que $T^\prime$ es más fina que $T,$ si $T\subset T^\prime.$
    Dado un conjunto $X$ no vacío, determinar la topología más fina y la menos fina que se pueden definir en $X.$
  16. Demostrar el siguiente teorema:
    Teorema. Sea $X$ un conjunto no vacío y sea
    $\qquad\qquad \qquad \mathscr{T}(X)=\{T:T \text{ es topología en }X\}\subset P\left(P(X)\right).$
    Entonces, $(\mathscr{T}(X),\subset)$ es un conjunto ordenado con primer y último elemento. Si $X$ es un conjunto con más de un elemento, $(\mathscr{T}(X),\subset)$ no está totalmente ordenado.
  17. Sea $X$ un conjunto no vacío y $T$ una colección de subconjuntos de $X$. Demostrar que $T$ es una topología en $X$ si y sólo si se verifican los axiomas:
    $[1)$ $\emptyset,X\in T$.
    $(2)$ Si $A$ y $B$ son elementos de $T,$ entonces $A\cap B\in T.$
    $(3^\prime)$ Si $\{A_i:i\in I\}$ es una familia de elementos de $T-\{\emptyset,X\},$ entonces $\bigcup_{i\in I}A_i\in T.$
  18. Para cada entero positivo $n$ se considera el intervalo abierto de la recta real $I_n=(-n,n).$ Demostrar que $(\mathbb{R},T)$ es espacio topológico, en donde $T=\{\emptyset,\mathbb{R}\}\cup\{I_n: n=1,2,\ldots\}.$
    Soluciones
  1. Los conjuntos $\emptyset$ y $X$ pertenecen a $T$ y es fácil comprobar que se verifican los otras dos condiciones de topología.
  2. $\{1,3,4\}$ y $\{2,3,4\}$ pertenecen a $T,$ sin embargo $\{1,3,4\}\cup\{2,3,4\}$ $=$ $\{1, 2,3,4\}\not\in T.$
  3. $\{1,3,4\}$ y $\{1,2,4,5\}$ pertenecen a $T,$ sin embargo $\{1,3,4\}\cap \{1,2,4,5\}$ $=$ $\{1,4\}\not\in T.$
  4. $\emptyset$ y $X$ pertenecen a $P(X).$ Por otra parte sabemos $P(X)$ es cerrado con respecto a uniones e intersecciones arbitrarias, en consecuencia $T=P(X)$ es topología en $X.$
  5. $\emptyset$ y $X$ pertenecen a $T.$ Por otra parte es inmediato verificar las otras dos condiciones de topología.
  6. $\emptyset\in T$ por definición de $T$ y $X^c=\emptyset$ que es finito, luego $X\in T.$ Si $A,B\in T$ entonces, si uno de ellos es vacío, $A\cap B=\emptyset\in T$. Si ninguno de ellos es vacío, $\left(A\cap B\right)^c=A^c\cup B^c$ y al ser $A^c$ y $B^c$ finitos $A^c\cup B^c$ también lo es, luego $A\cap B\in T.$
    Sea ahora una familia $\{A_i:i\in I\}$ de elementos de $T.$ Podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos son no vacíos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la unión $\bigcup_{i\in I}A_i$ no varía. Tenemos $\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^c=\bigcap_{i\in I}A_i^c$ y este conjunto es finito al estar contenido en cada $A_i^c$ que es finito. Por tanto, $\bigcup_{i\in I}A_i\in T.$
  7. $\emptyset\in T$ por definición de $T$ y $p\in X$ por tanto, $X\in T$. Si $A$ y $B$ son abiertos y alguno de ellos es vacío, $A\cap B=\emptyset$, que es abierto. Si ambos son no vacíos, ambos contienen a $p$ y por tanto, $A\cap B$ también lo contiene, es decir $A\cap B$ es abierto.
    De la misma forma si $\{A_i\}$ es familia de abiertos, podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos son no vacíos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la unión $\bigcup_{i}A_i$ no varía. Entonces $p\in A_i$ para todo $i$ con lo cual $p\in\bigcup_iA_i$ y por tanto $\bigcup_iA_i$ es abierto.
  8. $\emptyset\in T$ por definición de $T$ y $\mathbb{N}=S_0\in T.$ Si $A,B\in T$ entonces, si uno de ellos es vacío, $A\cap B=\emptyset\in T$. Si ninguno de ellos es vacío, entonces $A=S_m$ y $B=S_k$ para ciertos $m,k$ números naturales y $S_m\cap S_k=S_{\max\{m,k\}}\in T.$
    Sea una familia $\{A_i:i\in I\}$ de elementos de $T.$ Podemos suponer sin pérdida de generalidad que todos son no vacíos pues si algunos lo fueran, se pueden suprimir y la unión de los $A_i$ no varía. Entonces, la unión de los $A_i$ es de la forma $\bigcup_{i\in I\subset\mathbb{N}}S_i=S_{\min\{i:i\in I\}}\in T.$
    Es claro que los abiertos que contienen a $n_0$ son $S_0,S_1 S_2,\ldots, S_{n_0}.$
  9. Consideremos la familia de elementos de $T$ dada por $\{I_q:q> \sqrt{2}\}.$ Es claro que su unión es $\bigcup_{q>\sqrt{2}}I_q=(\sqrt{2},+\infty)$ y por tanto no pertenece a $T$ pues $\sqrt{2}$ es irracional.
  10. $\emptyset=f^{-1}(\emptyset)$ y $X=f^{-1}(Y)$ con lo cual $\emptyset, X\in T.$
    Si $A,B\in T$ existen $G_1,G_2\in T^\prime$ tales que $A=f^{-1}(G_1)$ y $B=f^{-1}(G_2).$ Entonces, $A\cap B=f^{-1}(G_1)\cap f^{-1}(G_2)=f^{-1}(G_1\cap G_2).$ Pero $G_1\cap G_2\in T^\prime$ por ser $T^\prime$ topología, luego $A\cap B\in T.$
    Si $\{A_i:i\in I\}$ es una familia de elementos de $T,$ existen $G_i\in T^\prime$ tales que $A_i=f^{-1}(G_i).$ Entonces, $\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(G_i)=f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}G_i\right).$ Pero $\bigcup_{i\in I}G_i\in T^\prime$ por ser $T^\prime$ toplogía, luego $\bigcup_{i\in I}A_i\in T.$
  11. Si $A\subset X$ entonces, $A=\bigcup_{x\in A}\{x\}$ que es unión de abiertos y por tanto abierto. Nótese que también es váldo para $A=\emptyset$ pues sabemos que la unión de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
  12. Al ser $X$ infinito, contiene a un subconjunto numerable, conjunto que será de la forma $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}.$ Llamemos $A=\{x_1,x_3,x_5,\ldots\}.$ Entonces, $A$ y $A^c$ son infinitos y para todo $x\in X$ se verifica $\{x\}=\left(A\cup\{x\}\right)\cap \left(A^c\cup\{x\}\right).$ Pero $A\cup\{x\}$ y $A^c\cup\{x\}$ son infinitos y por tanto abiertos, con lo cual todo subconjunto unitario $\{x\}$ de $X$ es abierto. Por el problema anterior concluimos que $T$ es la topología discreta.
  13. $(1)$ Al ser $T_i$ topología para todo $i$, $\emptyset$ y $X\in T_i$ para todo $i$, por tanto $\emptyset,X\in\bigcap_i T_i$.
    (2) Si $A,B\in \bigcap_i T_i,$ entonces, $A,B\in T_i$ para todo $i$ y al ser $T_i$ topología, $A\cap B\in T_i$ para todo $i$ luego $A\cap B\in \bigcap_i T_i.$
    (3) Si $\{A_j:j\in J\}$ es familia de elementos de $\bigcap_i T_i$, entonces para todo $j,$ $A_j\in T_i$ para todo $i$. Al ser $T_i$ topología, $\bigcup_jA_j\in T_i$ para todo $i,$ luego $\bigcup_jA_j\in\bigcap_i T_i.$
  14. Sea $X=\{a,b,c\}.$ Es inmediato comprobar que $T_1=\{\emptyset,X,\{a\}\}$ y $T_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}$ son topologías en $X.$ Sin embargo $T_1\cup T_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\}\}$ no es topología pues $\{a\}$ y $\{b\}$ pertenecen a $T_1\cup T_2$ sin embargo, $\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}\notin T_1\cup T_2.$
  15. Claramente la menos fina es la indiscreta y la más fina, la discreta.
  16. $\mathscr{T}(X)$ es un conjunto ordenado por la inclusión $\subset$ por ser subconjunto de $P\left(P(X)\right)$ que está ordenado por $\subset.$ Claramente la topología indiscreta $T_I$ es el primer elemento de $\mathscr{T}(X)$ y la discreta $T_D$ es el último elemento. Si $X$ contiene a los elementos distintos $x_1$ y $x_2,$ entonces $T_1=\{\emptyset,X,\{x_1\}\}$ y $T_2=\{\emptyset,X,\{x_2\}\}$ son topologías en $X$ no comparables.
  17. Si $T$ es topología se verifican trivialmente los axiomas $(1),$ $(2)$ y $(3^\prime).$ Si se verifican los axiomas $(1),$ $(2)$ y $(3^\prime),$ trivialmente se verifican los axiomas $(1)$ y $(2)$ de topología. Falta pues demostrar que se verifica el $(3).$
    En efecto, sea $\{A:A\in \mathscr{A}\}$ una familia de elementos de $T.$ Si $X\in \mathscr{A}$ entonces, $\bigcup_{A\in \mathscr{A}}A=X$ que pertenece a $T$ por $(1).$
    Si $X\notin \mathscr{A},$ entonces $\bigcup_{A\in \mathscr{A}}A=\bigcup_{A\in \mathscr{A}-\{X\}}A.$ Dado que el conjunto vacío no añade ningún elemento a la unión, podemos expresar $$\bigcup_{A\in \mathscr{A}}A=\bigcup_{A\in \mathscr{A}-\{X\}}A=\bigcup_{A\in \mathscr{A}-\{X,\emptyset\}}A,$$ y por $(3^\prime)$, $\bigcup_{A\in \mathscr{A}}A\in T.$
  18. Por hipótesis. $\emptyset$ y $\mathbb{R}$ pertenecen a $T.$ Sean $A,B\in T.$ Los elementos de $T$ están totalmente ordenados por inclusión: $\emptyset\subset I_1\subset I_2\subset\ldots\subset\mathbb{R}$ y por tanto, la intersección de dos elementos de $T$ pertenece a $T.$
    Usamos el problema anterior. Sea $\{A_i:i\in I\}$ una familia de elementos de $T-\{\emptyset,\mathbb{R}\}$. Cada $i$ es de la forma $A_i=I_{n_i}$ con $n_i$ entero positivo. Pero en este caso, si el conjunto $\{n_i:i\in I\}$ está acotado superiormente, $\bigcup_{n_i\in I}I_{n_i}=I_{\max\{n_i:i\in I\}}\in T$ y si no está acotado, $\bigcup_{n_i\in I}I_{n_i}=\mathbb{R}\in T.$
Esta entrada fue publicada en Topología. Guarda el enlace permanente.