Punto de acumulación

Proporcionamos ejercicios resueltos sobre el concepto de punto de acumulación.

    Enunciados
  1. Definición. Sea $X$ un espacio topológico. Un punto $x\in X$ se dice que es punto de acumulación o punto límite de un subconjunto $A$ de $X$ si para todo abierto $G$ que contiene a $x$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne\emptyset.$ Al conjunto de los puntos de acumulación de $A$ se le denota por $A^\prime$ y se le llama conjunto derivado de $A.$
    Se considera el conjunto $X=\{1,2,3,4,5\}$ con la topología
    $\qquad\qquad \qquad T=\left\{\emptyset, X,\{1\},\{3,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4,5\}\right\}.$
    Determinar el conjunto derivado de $A=\{1,2,3\}.$
  2. Sea $X$ el espacio topológico indiscreto, es decir con la topología indiscreta $T_I.$ Determinar el conjunto derivado de cualquier subconjunto $A$ de $X.$
  3. Sea $X$ el espacio topológico discreto, es decir con la topología discreta $T_D.$ Determinar el conjunto derivado de cualquier subconjunto $A$ de $X.$
  4. Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de un espacio topológico $X.$ Demostrar que $A\subset B\Rightarrow A^\prime \subset B^\prime.$
  5. Sea $A$ un subconjunto de un espacio topológico $X.$ Demostrar que $x\in X$ no es punto de acumulación de $A$ si y sólo si existe un abierto $G$ tal que $x\in G$ y $G\cap A\subset \{x\}.$
  6. Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de un espacio topológico $X.$ Demostrar que $\left(A\cup B\right)^\prime= A^\prime \cup B^\prime.$
  7. Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de un espacio topológico $X.$ Demostrar que $\left(A\cap B\right)^\prime\subset A^\prime \cap B^\prime.$
  8. Encontrar un caso en el que no se verifique la igualdad $\left(A\cap B\right)^\prime= A^\prime \cap B^\prime.$
  9. Sean $T$ y $T^\prime$ dos topologías en $X$ con $T^\prime$ más fina que $T$ y sea $A\subset X.$ Demostrar que si $x$ es punto de acumulación de $A$ con respecto a $T^\prime,$ también lo es con respecto a $T.$ Construir un contraejemplo que demuestre que el recíproco es falso.
    Soluciones
  1. Analicemos cada elemento de $X:$
    $(1)$ Punto $x=1.$ $G=\{1\}$ es abierto que contiene a $1$, pero $\left(G-\{1\}\right)\cap A=\emptyset$, luego $1$ no es punto de acumulación de $A.$
    $(2)$ Punto $x=2.$ Los abiertos $G$ que contienen a $2$ son $X$ y $\{2,3,4,5\}$ y en ambos casos $\left(G-\{2\}\right)\cap A\ne\emptyset$, luego $2$ es punto de acumulación de $A$.
    $(3)$ Punto $x=3.$ $G=\{3,4\}$ es abierto que contiene a $3$ pero $\left(G-\{3\}\right)\cap A=\emptyset$, luego $3$ no es punto de acumulación de $A.$
    $(4)$ Punto $x=4.$ Los abiertos $G$ que contienen a $4$ son $X$, $\{3,4\}$, $\{1,3,4\},$ y $\{2,3,4,5\}$ y en todos lo casos $\left(G-\{4\}\right)\cap A\ne\emptyset$, luego $4$ es punto de acumulación de $A$.
    $(5)$ Punto $x=5.$ Los abiertos $G$ que contienen a $5$ son $X$ y $\{2,3,4,5\}$ y en ambos casos $\left(G-\{5\}\right)\cap A\ne\emptyset$, luego $5$ es punto de acumulación de $A$.
    Concluimos que el conjunto derivado de $A$ es $A^\prime=\{2,4,5\}.$
  2. El único abierto que contiene a algún punto es $G=X.$ Si $A=\emptyset,$ entonces para todo $x\in X$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A=\emptyset$, luego $A=\emptyset$ no tiene puntos de acumulación. Si $A=\{a\}$ consta de un único elemento se verifica $\left(G-\{a\}\right)\cap A=\emptyset$ y $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne\emptyset$ si $x\ne a$, luego los puntos de acumulación son todos los $x\in X$ distintos de $a.$ Si $A=\{a,b,\ldots\}$ consta de más de un punto, entonces $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne\emptyset$ para todo $x\in X$ y los puntos de $A$ son todos los de $X.$ En consecuencia, $$A^\prime=\left \{ \begin{matrix}{\emptyset}&\text{si}& A=\emptyset\\X-\{a\} & \text{si}& A=\{a\}\\X & \text{si}& A\text{ contiene más de un punto.}\end{matrix}\right.$$
  3. Sea $A\subset X.$ Para todo $x\in X$ el conjunto $G=\{x\}$ es abierto que contiene a $x$ y se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A=\emptyset\cap A=\emptyset$ luego $A$ no tiene puntos de acumulación. Concluimos que $A^\prime=\emptyset$ para todo $A\subset X.$
  4. Si $x\in A^\prime$, para todo abierto $G$ que contiene a $x$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne \emptyset.$ Pero al cumplirse $A\subset B$, también $\left(G-\{x\}\right)\cap B\ne \emptyset$ lo cual implica que $x\in B^\prime.$ Es decir, $ A^\prime \subset B^\prime.$
  5. Tenemos las siguientes equivalencias:
    $x$ no es punto de acumulación de $A$
    $\Leftrightarrow \exists G$ abierto con $x\in G$ y $\left(G-\{x\}\right)\cap A=\emptyset$ $\Leftrightarrow \exists G\text{ abierto con }x\in G\text{ y o bien } G\cap A=\emptyset \text{ o bien }G\cap A=\{x\}$ $\Leftrightarrow \exists G\text{ abierto con }x\in G \text{ y }G\cap A\subset \{x\}.$
  6. Veamos que $A^\prime \cup B^\prime\subset\left(A\cup B\right)^\prime.$ Se verifica $A\subset A\cup B$ y $B\subset A\cup B$ y por el problema 4, $A^\prime\subset \left(A\cup B\right)^\prime$ y $B^\prime\subset \left(A\cup B\right)^\prime$ por tanto, $A^\prime \cup B^\prime\subset \left(A\cup B\right)^\prime.$ Veamos ahora que $\left(A\cup B\right)^\prime \subset A^\prime\cup B^\prime.$ Si $x\notin \subset A^\prime\cup B^\prime$, entonces $x\notin A^\prime$ y $x\notin B^\prime.$ Por el problema 5 existen abiertos $G,H$ tales que $x\in G,$ $G\cap A\subset \{x\},$ $x\in H,$ $H\cap B\subset \{x\}.$ El conjunto $G\cap H$ es abierto y $x\in G\cap H.$ Además, $$(G\cap H)\cap (A\cup B)=(G\cap H\cap A)\cup (G\cap H\cap B)\subset \{x\}\cup\{x\}=\{x\},$$ lo cual implica que $x\notin \left(A\cup B\right)^\prime$. Es decir, $\left(A\cup B\right)^\prime \subset A^\prime\cup B^\prime.$
  7. Si $x\in \left(A\cap B\right)^\prime$ entonces, para todo abierto $G$ que contiene a $x$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap (A\cap B)\ne\emptyset.$ Ahora bien, tanto $\left(G-\{x\}\right)\cap A$ como $\left(G-\{x\}\right)\cap B$ contienen a $\left(G-\{x\}\right)\cap (A\cap B)$ y por tanto, son no vacíos con lo cual $x\in A^\prime$ y $x\in B^\prime$, esto es, $x\in A^\prime \cap B^\prime.$
  8. Consideremos en el conjunto con tres elementos $X=\{a,b,c\}$ la topología indiscreta. Elijamos $A=\{a\}$ y $B=\{b\}.$ Según el problema 2, $A^\prime=\{b,c\}$ y $B^\prime=\{a,c\}.$ Entonces, $(A\cap B)^\prime=\emptyset^\prime=\emptyset$ y $ A^\prime \cap B^\prime=\{c\}.$ Es decir, no se verifica la igualdad.
  9. Si $x$ es punto de acumulación de $A$ con respecto a $T^\prime$ entonces, para todo $G\in T^\prime$ tal que $x\in G$ se verifica $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne \emptyset.$ Por hipótesis $T\subset T^\prime$, luego la relación $\left(G-\{x\}\right)\cap A\ne \emptyset$ también se verifica para todo $G\in T$ con $x\in G$ y por tanto, $x$ es punto de acumulación de $A$ con respecto a $T.$
    Para demostrar que el recíproco no es en general cierto, elijamos $X=\{a,b\}$, la topología indiscreta $T$ y la discreta $T^\prime$, con lo cual $T^\prime$ es más fina que $T.$ Si $A=\{a\}$, es inmediato verificar que $b$ es punto de acumulación de $A$ con respecto a $T$ pero no con respecto a $T^\prime.$
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