Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos

Demostramos que los grupos multiplicativos de los reales y los complejos no son isomorfos.

Enunciado
Demostrar que los grupos multiplicativos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos.

Solución
Supongamos que existe un isomorfismo $f:\mathbb{C}^\times\to \mathbb{R}^\times.$ Tenemos $f(i^2)=f(-1).$ Ahora bien, $$1=f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)f(-1)=f(-1)^2\Rightarrow f(-1)=\pm 1.$$ Al ser $f$ inyectiva y $f(1)=1$, ha de ser necesariamente $f(-1)=-1.$ Es decir, $f(i^2)=-1$. Pero al ser $f$ homomorfismo, $f(i^2)=f(i)^2$, con lo cual queda $f(i)^2=-1.$ Esto es absurdo al ser $f(i)$ real. Concluimos que $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos.

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