Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos

Proporcionamos un ejemplo de cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos.

    Enunciado
  1. Demostrar que el conjunto $\mathcal{A}=\{A_{(x,y)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}$ es un cuerpo con las operaciones suma y producto habituales de matrices.
  2. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{C}\to\mathcal{A}$ dada por $f(x+iy)=A_{(x,y)}$ es un isomorfismo de cuerpos.
    Solución
  1. Veamos que $\mathcal{A}$ es subanillo de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$ En efecto, claramente $0=A_{(0,0)}\in\mathcal{A}.$ Para todo par de matrices $A_{(x,y)}$ y $A_{(x^\prime,y^\prime)}$ se verifica $$A_{(x,y)}-A_{(x^\prime,y^\prime)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}{\;\;x^\prime}&{y^\prime}\\{-y^\prime}&{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;x-x^\prime}&{y-y^\prime}\\{-(y-y^\prime)}&{x-x^\prime}\end{bmatrix}$$ y por tanto, $A_{(x,y)}-A_{(x^\prime,y^\prime)}=A_{(x-x^\prime,y-y^\prime)}\in \mathcal{A}.$ Por otra parte, $$A_{(x,y)}A_{(x^\prime,y^\prime)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;x^\prime}&{y^\prime}\\{-y^\prime}&{x^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;xx^\prime-yy^\prime}&{xy^\prime+yx^\prime}\\{-(yx^\prime+xy^\prime)}&{xx^\prime-yy^\prime}\end{bmatrix}$$ y por tanto, $A_{(x,y)}A_{(x^\prime,y^\prime)}=A_{(xx^\prime-yy^\prime,xy^\prime+yx^\prime)}\in \mathcal{A}.$ Hemos demostrado que $\mathcal{A}$ es anillo. Es unitario pues $I=A_{(1,0)}\in \mathcal{A}$ y también conmutativo pues $$A_{(x^\prime,y^\prime)}A_{(x,y)}=\begin{bmatrix}{\;\;x^\prime}&{y^\prime}\\{-y^\prime}&{x^\prime}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;x^\prime x-y^\prime y}&{x^\prime y+y^\prime x}\\{-(x^\prime y+y^\prime x)}&{x^\prime x-y^\prime y}\end{bmatrix},$$ es decir $ A_{(x^\prime,y^\prime)}A_{(x,y)}=A_{(x,y)}A_{(x^\prime,y^\prime)}.$ Falta demostrar que todo $A_{(x,y)}\in \mathcal{A}$ con $(x,y)\ne (0,0)$ tiene inverso en $\mathcal{A}$. En efecto, $\det A_{(x,y)}=x^2+y^2\ne 0$ y por tanto $A_{(x,y)}$ es invertible siendo su inversa $$(A_{(x,y)})^{-1}=\frac{1}{x^2+y^2}\begin{bmatrix}{x}&{-y}\\{y}&{\;\;x}\end{bmatrix}=A_{\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\right)}\in \mathcal{A}.$$
  2. Para cualquier par de números complejos $x+iy,\;x’+iy’:$ $$\begin{aligned}
    & f[(x+iy)+(x'+iy')]=f[(x+x')+(y+y')i]=\begin{bmatrix}{x+x’}& {y+y’}\\{-(y+y’)}&{x+x’}\end{bmatrix}\\
    &=\begin{bmatrix}{x}& {y}\\{-y}& {x}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{x’}&{y’}\\{-y’}& {x’}\end{bmatrix}=f(x+iy)+f(x’+iy’).
    \end{aligned}$$ Por otra parte, $$\begin{aligned}
    & f[(x+iy)(x'+iy')]=f[(xx'-yy')+(xy'+yx')i]=\\
    & \begin{bmatrix}{xx’-yy’}& {xy’+yx’}\\{-(xy’+yx’)}&{xx’-yy’}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x}& {y}\\{-y}& {x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x’}&{y’}\\{-y’}& {x’}\end{bmatrix}=f(x+iy)f(x’+iy’).
    \end{aligned}$$ Al ser la imagen de $f$ no trivial, $f$ es homomorfismo entre los cuerpos $\mathbb{C}$ y $\mathcal{A}.$ Su núcleo es: $$\ker f=\{x+iy\in\mathbb{C}:f(x+iy)=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}& {x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\}=\{0+0i\}=\{0\},$$ por tanto $f$ es inyectiva. Por último, cualquier elemento de $\mathcal{A}$ se puede expresar en la forma: $$\begin{bmatrix}{x}& {y}\\{-y}& {x}\end{bmatrix}=f(x+iy),$$ es decir $f$ es sobreyectiva. Hemos demostrado pues que $f$ es un isomorfismo entre los cuerpos $ \mathbb{C} $ y $\mathcal{A}.$
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