Inverso en un cuerpo de ruptura

Proporcionamos un método para hallar el inverso de cualquier elemento en un cuerpo de ruptura.

  • Método. Sea $k(\xi)$ cuerpo de ruptura de un polinomio $f(x)\in k[x].$ Si $\beta\in k(\xi)$ podemos expresar $\beta$ en la forma $\beta=g(\xi)$ con $g(x)\in k[x]$ y $\text{grad }g(x) < \text{grad }f(x)$. Por la igualdad de Bezout, existen $A(x),B(x)\in k[x]$ tales que $$A(x)f(x)+B(x)g(x)=D(x),\quad D(x)=\text{mcd }\{f(x),g(x)\}.$$ Pero $f(x)$ es irreducible y $\text{grad }g(x) < \text{grad }f(x)$, por tanto $D(x)=1.$ Sustituyendo $x$ por $\xi$ y teniendo en cuenta que $f(\xi)=0$ queda $B(\xi)g(\xi)=1.$ Es decir, $\beta^{-1}=B(\xi).$
  • Ejemplo. Sea $f(x)=x^3-3x-1\in \mathbb{Q}[x].$ Sus únicas posibles raíces racionales son $\pm 1$ pero $f(1)\ne 0$ y $f(-1)\ne 0$ y al ser de tercer grado, es irreducible en $\mathbb{Q}.$ Sea $\mathbb{Q}(\xi)$ cuerpo de ruptura de $f(x)$ y vamos a hallar el inverso del elemento $$\beta=\xi^4+2\xi^3+3\in \mathbb{Q}(\xi).$$ Dividiendo $x^4+2x^3+3$ entre $f(x)$ obtenemos como resto $g(x)=3x^2+7x+5$ con lo cual $\beta=3\xi^2+7\xi+5.$ Tenemos $\text{mcd }\{f(x),g(x)\}=1$ y aplicando el algoritmo de Euclides, obtenemos la igualdad de Bezout $$\left(-\frac{7}{37}x+\frac{29}{111}\right)f(x)+\left(\frac{7}{111}x^2-\frac{26}{111}x+\frac{28}{111}\right)g(x)=1,$$ por tanto $\beta^{-1}=(7/111)\xi^2-(26/111)\xi+28/111.$
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