El conjunto de los números algebraicos es contable

Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable.

    Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$
  1. Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable.
    Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: $A=\bigcup_{p\in P}R(p)$ en donde $P$ representa el conjunto de los polinomios mónicos de $\mathbb{Q}[x]$ y $R(p)$ el conjunto de las raíces de $p.$ Dado que para cada $p$ el conjunto $R(p)$ es finito, bastará demostrar que $P$ es contable. Pero $P=\bigcup_{n=1}^\infty P_n$ en donde $P_n$ es el conjunto de los polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes racionales. La aplicación $$\mathbb{Q}^n\to P_n,\quad (a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\mapsto x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ es claramente biyectiva y al ser $\mathbb{Q}^n$ contable, lo es $P_n.$ Entonces $P$ es unión contable de conjuntos contables y por tanto es contable.
  2. Corolario. El conjunto de los números trasdecendentes no es contable.
    Demostración. Si $T$ es el conjunto de los números trascendentes, tenemos $\mathbb{R}=A\cup T.$ Si $T$ fuera contable, al ser $A$ contable también lo sería $\mathbb{R}$ lo cual es una contradicción.
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