Curvas rectificables y longitud de arco

Definimos los conceptos de arco de curva rectificable y longitud de arco. Demostramos una fórmula para calcular la longitud de los arcos de curvas de clase $C^1.$

  1. Definición. Sea $C$ un arco de curva en $\mathbb{R}^n$ dada por la función $$\mathbf{x}:[a,b]\to \mathbb{R}^n,\quad t\mapsto \mathbf{x}=\mathbf{x}(t),$$ y no se imponen condiciones a $\mathbf{x}.$ Consideremos el conjunto $$\mathscr{P}=\{P:P\text{ es partición de }[a,b]\}.$$ Para cada partición $P:a=t_0,t_1,\ldots,t_{n-1},t_m=b$ de $[a,b]$ consideramos la poligonal de $E:$ $\mathbf{x}(t_0),\mathbf{x}(t_1),\ldots,\mathbf{x}(t_{m-1}),\mathbf{x}(t_m)$ y su correspondiente longitud $$s(P)=\left|\mathbf{x}(t_1)-\mathbf{x}(t_0)\right|+\left|\mathbf{x}(t_2)-\mathbf{x}(t_1)\right|+\ldots +\left|\mathbf{x}(t_m)-\mathbf{x}(t_{m-1})\right|=\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|.$$ Se dice que $C$ es rectificable si el conjunto $\{s(P):P\in\mathscr{P}\}$ está acotado.
  2. Definición. Si $C$ es un arco de curva rectificable, definimos su longitud $L(C)$ como $$L(C)=\sup \{s(P):P\in\mathscr{P}\}.$$
  3. Ejemplo. El arco de parábola $C$ dado por $\mathbf{x}(t)=(t,t^2)$ con $t\in [0,1]$ es rectificable. En efecto sea la partición $P$ de $[0,1]$ dada por $ 0=t_0 < t_1 < \ldots < t_n=1.$ Tenemos $$s(P)=\sum_{i=1}^n\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|=\sum_{i=1}^n\left|(t_i,t_i^2)-(t_{i-1},t_{i-1}^2)\right|=\sum_{i=1}^n\left|(t_i-t_{i-1},t_i^2-t_{i-1}^2)\right|$$ $$\le \sum_{i=1}^n\left(\left|t_i-t_{i-1}\right|+\left|t_i^2-t_{i-1}^2\right|\right)=\sum_{i=1}^n\left(\left|t_i-t_{i-1}\right|+\left|t_i-t_{i-1}\right|\left|t_i+t_{i-1}\right|\right)$$ $$=\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})(1+t_{i-1}+t_i).$$ Ahora bien, se verifica $0 \le t_{i-1} < t_i\le 1$ y por tanto $1+t_{i-1}+t_i\le 3.$ Por otra parte, $\sum_{i=1}^n(t_i-t_{i-1})=1$ con lo cual $s(P)\le 3\sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})=3$ es decir, el arco $C$ es rectificable.
  4. Ejemplo. La curva del plano $$\Gamma:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=t\quad\text{si}\quad 0\le t\le1\\& y=\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & t\cos \frac{1}{t}\quad \text{si}\quad 0 < t \le 1\\& 0\quad \text{si}\quad t=0.\end{aligned}\end{matrix}\right. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ no es rectificable. Ver Una curva no rectificable
  5. Teorema. Todo arco de curva de clase $C^1$ es rectificable.
    Demostración. Sea $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n):[a,b]\to \mathbb{R}^n$ un arco de curva de clase $C^1.$ Entonces, las funciones $x_1^\prime,\ldots,x_n^\prime$ son continuas en $[a,b]$ y por tanto están acotadas es decir, existen constantes positivas $M_1,\ldots,M_n$ tales que $$\left|x_n^\prime(t)\right|\le M_1,\ldots, \left|x_n^\prime(t)\right|\le M_n\quad \forall t\in [a,b].$$ Sea $P$ una partición de $[a,b]$ determinada por los puntos $a=t_0 < t_1 < \ldots < t_m=b.$ Para cada $i\in\{1,\ldots,m\}$ tenemos $$\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|=\sqrt{\left(x_1(t_i)-x_{1}(t_{i-1})\right)^2+\ldots+\left(x_n(t_i)-x_{n}(t_{i-1})\right)^2}$$ $$\le \left|x_1(t_i)-x_1(t_{i-1})\right|+\ldots+\left|x_n(t_i)-x_n(t_{i-1})\right|.$$ Por el teorema del valor medio de Lagrange, existen $\xi_1,\ldots,\xi_n$ en el intervalo $(t_{i-1},t_i)$ tales que $$\begin{aligned}&\left|x_1(t_i)-x_1(t_{i-1})\right|=\left|x_1^\prime(\xi_1)\right|(t_i-t_{i-1})\\ &\ldots\\ & \left|x_n(t_i)-x_n(t_{i-1})\right|=\left|x_n^\prime(\xi_n)\right|(t_i-t_{i-1}). \end{aligned}$$ En consecuencia, $$\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|\le \left|x_1(t_i)-x_1(t_{i-1})\right|+\ldots+\left|x_n(t_i)-x_n(t_{i-1})\right|$$ $$\le \left(\left|x_1^\prime(\xi_1)\right|+\ldots +\left|x_n^\prime(\xi_n)\right|\right)(t_i-t_{i-1})\le \left(M_1+\ldots + M_n\right)(t_i-t_{i-1}).$$ Si $s(P)$ es la longitud de la poligonal determinada por $P$ tenemos $$s(P)=\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|\le \left(M_1+\ldots + M_n\right)\sum_{i=1}^m (t_i-t_{i-1})$$ $$=\left(M_1+\ldots + M_n\right)(b-a).$$ Es decir, el conjunto $\{s(P):P\in\mathscr{P}\}$ está acotado y por tanto el arco de curva es rectificable.
  6. Teorema. Sea $\mathbf{x}:[a,b]\to \mathbb{R}^n$ un arco de curva de clase $C^1$ (y por tanto rectificable). Entonces, su longitud es $$s=\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt.$$ Demostración. Si $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ entonces $\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|=\sqrt{\left(x_1^\prime (t)\right)^2+\ldots+\left(x_n^\prime (t)\right)^2}$ y al ser las funciones $x_i^\prime$ continuas en $[a,b]$ también es continua $\mathbf{x}^\prime $ en $[a,b]$ y por tanto existe $\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt.$ Por definición de longitud de arco, $s=\sup \{s(P):P\in\mathscr{P}\}$ y tenemos que demostrar que para todo $\epsilon > 0$ se verifica la desigualdad $$\left|s-\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right| < \epsilon.$$ Al ser las funciones $x_1^\prime,\ldots,x_n^\prime$ continuas en el intervalo cerrado $[a,b],$ son uniformemente continuas y por tanto existe $\delta_1 > 0$ tal que $$\left|x_k^\prime(t)-|x_k^\prime(t^\prime)\right| < \frac{\epsilon}{3n(b-a)}\quad \text{si}\quad t,t^\prime\in [a,b]\text{ con }\left|t-t^\prime \right| < \delta_1 \quad (1)$$ y para todo $k=1,\ldots,n.$ Por definición de integral, existe $\delta_2 > 0$ tal que para toda partición $P:$ $a=t_0 < t_1 < \ldots < t_m=b$ que cumple $\left|t_i-t_{i-1}\right| < \delta_2 $ se verifica $$\left|\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt-\sum_{i=1}^m \left|\mathbf{x}^\prime (\theta_i)(t_i-t_{i-1})\right|\right| < \frac{\epsilon}{3}\quad (2)$$ si $\theta_i\in [t_{i-1},t_i]$ para todo $i=1,\ldots,m.$ Intercalando convenientemente valores en la partición anterior, podemos suponer que $P$ verifica $\left|t_i-t_{i-1}\right| < \min\{\delta_1,\delta_2\}$ y podemos aplicar a $P$ las desigualdades $(1)$ y $(2).$ Tenemos $$\left|s-\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right| \le \left|s-s(P)\right|+\left|s(P)-\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right|$$ $$< \frac{\epsilon}{3}+\left|s(P)-\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right|.\quad (3)$$ Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a las funciones $x_1,\ldots,x_n$ a cada uno de los intervalos $[t_0,t_1],$ $[t_1,t_2],$ $\ldots,$ $[t_{m-1},t_m]$ existen valores $\theta_{k,i}\in [t_{i-1},t_i]$ con $k=1,\ldots,n$, $i=1,\ldots,m$ tales que $$x_k(t_i)-x_k(t_{i-1})=x_k^\prime (\theta_{k,i})(t_i-t_{i-1}).$$ Entonces, $$s(P)=\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}(t_i)-\mathbf{x}(t_{i-1})\right|=\sum_{i=1}^m\left|\left(x_1(t_i)-x_1(t_{i-1}),\ldots,x_n(t_i)-x_n(t_{i-1})\right)\right|$$ $$=\sum_{i=1}^m\left|\left(x_1^\prime(\theta_{1,i}),\ldots,x_1^\prime(\theta_{n,i})\right)\right|(t_i-t_{i-1}).$$ Sumando y restando $\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|(t_i-t_{i-1})$, $$\left|s(P)-\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right|\le \left|\left(\sum_{i=1}^m\left|\left(x_1^\prime(\theta_{1,i}),\ldots,x_1^\prime(\theta_{n,i})\right)\right|-\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|\right)(t_i-t_{i-1})\right|$$ $$+\left|\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|(t_i-t_{i-1})-\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right|$$ $$\le \sum_{i=1}^m\left| |\left(x_1^\prime(\theta_{1,i}),\ldots,x_1^\prime(\theta_{n,i})\right)\right|-\left|\mathbf{x}^\prime (t)| \right|$$ $$+\left|\sum_{i=1}^m\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|(t_i-t_{i-1})-\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right|.\quad (4)$$ Por la desigualdad $(2)$ tenemos $$\left|\sum_{i=1}^m \left|\mathbf{x}^\prime (t_i)(t_i-t_{i-1})\right|-\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right| < \frac{\epsilon}{3}.$$ Por otra parte, si $u=(u_1,\ldots, u_n),$ $v=(v_1,\ldots, v_n)$ son vectores de $\mathbb{R}^n$ se verifica $$\left| \left| u\right| -\left| v\right|\right|\le \left|u-v\right|\le \sum_{k=1}^n\left|u_k-v_k\right|$$ y por la desigualdad $(1)$ se verifica para $i=1,\ldots,m:$ $$\left| |\left(x_1^\prime(\theta_{1,i}),\ldots,x_1^\prime(\theta_{n,i})\right)\right|-\left|\mathbf{x}^\prime (t)| \right|\le \left|x_1^\prime(\theta_{1,i})-x_1^\prime (t_i)\right|+\ldots+\left|x_n^\prime(\theta_{n,i})-x_n^\prime (t_i)\right|$$ $$ < \frac{\epsilon}{3n(b-a)}+\ldots+\frac{\epsilon}{3n(b-a)}=\frac{\epsilon}{3(b-a)}.$$ De las desigualdades $(4)$ deducimos $$\left|s(P)-\int_a^b\left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right| < \frac{\epsilon}{3(b-a)}\sum_{i=1}^m(t_i-t_{i-1})+\frac{\epsilon}{3}=\frac{\epsilon (b-a)}{b-a}+\frac{\epsilon}{3}=\frac{2\epsilon}{3}.$$ Aplicando la desigualdad $(3)$, $$\left|s-\int_a^b \left|\mathbf{x}^\prime (t)\right|dt\right| < \frac{\epsilon}{3}+\frac{2\epsilon}{3}=\epsilon$$ que es lo que queríamos demostrar.
  7. Ejemplo. Calculemos la longitud del arco de la hélice circular $$\mathbf{x}(t):\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(t) = a\cos t\\ &y(t) = a\sin t\\& z(t)=bt. \end{aligned}\end{matrix}\right.\quad t\in [0,1].$$ Las funciones $x(t),$ $y(x),$ $z(t)$ son de clase $1$ (más aún de clase infinito) en $\mathbb{R},$ en consecuencia la hélice circular es rectificable en todo intervalo real $[\alpha,\beta].$ Su longitud es $$s=\int_0^{1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2+
    \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt =\int_0^{1} \sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}dt$$ $$= \int_0^{1} \sqrt{a^2+b^2}dt = \sqrt{a^2+b^2}.$$
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