Igualdad de matrices a partir de una de determinantes

Demostramos una igualdad de matrices a partir de una de determinantes.

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, $\mathbb{K}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuadradas de orden $n$ con entradas en $\mathbb{K}$ y $A,B\in \mathbb{K}^{n\times n}$ fijas. Demostrar que $$\det (A+X)=\det (B+X)\;\;\forall X\in\mathbb{K}^{n\times n}\Rightarrow A=B.$$

Solución
Sea $\mathcal{M}\subset \mathbb{K}^{n\times n}$ el conjunto de las matrices cuya primera fila es la opuesta de la primera fila de $A.$ Entonces, para todo $X\in\mathcal{M}$ se verifica $\det (A+X)=0$ y por tanto, también $\det (B+X)=0$ para todo $X\in\mathcal{M}.$ Veamos que necesariamente la primera fila de $A$ es igual a la primera fila de $B.$ En efecto, supongamos que no fueran iguales. Tendríamos entonces $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1} &\ldots & a_{nn}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1n}\\ b_{21} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ b_{n1} &\ldots & b_{nn}\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix} -a_{11} & \ldots & -a_{1n}\\ x_{21} & \ldots & x_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ x_{n1} &\ldots & x_{nn}\end{bmatrix}$$ con los $x_{ij}\in\mathbb{K}$ variables. Entonces, $$B+X=\begin{bmatrix} b_{11}-a_{11} & \ldots & b_{1n}-a_{1n}\\b_{21}+ x_{21} & \ldots & b_{2n}+x_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ b_{n1}+x_{n1} &\ldots & b_{nn}+x_{nn}\end{bmatrix}\text{ con }b_{1k}-a_{1k}\ne 0\text{ para algún }k$$ y las filas $F_2,\ldots,F_n$ de $B+X$ podemos conseguir que sean las que queramos sin más que elegir convenientemente los elementos $x_{ij}.$ Hemos supuesto que la primera fila de $B+X$ es no nula, con lo cual podemos encontrar $X\in\mathcal{M}$ tal que $\det (B+X)\ne 0$, lo cual es una contradicción. Podemos reproducir el mismo argumento para cualquier otra fila, de lo cual deducimos que $A=B.$

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