Teorema de la base de Hilbert

Demostramos el teorema de la base de Hilbert y como corolario, que para todo cuerpo $k$, el anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$ es noetheriano.

  1. Teorema (de la base de Hilbert). Sea $A$ anillo conmutativo y unitario. Entonces, $$A\text{ es noetheriano}\Rightarrow A[x]\text{ es es noetheriano.}$$ Demostración. Por reducción al absurdo. Supongamos que existe un ideal $I\subset A[X]$ que ne sea finitamente generado. Entonces, $I\ne \{0\}.$ Sea $f_1(x)\in I$ de grado mínimo y sea $I_1=\langle f_1(x)\rangle$. Entonces, $I_1\subset I$ con $I_1\ne I.$ Elijamos $f_2(x)\in I-I_1$ de grado mímimo. Entonces, $I_2=\langle f_1(x),f_2(x)\rangle\subset I$ con $I_2\ne I.$ Obtenemos así una sucesión de polinomios $$f_1(x),\;f_2(x),\;f_3(x),\;f_4(x),\;\ldots$$ y si el grado de $f_i(x)$ es $d_i$, entonces $d_1\le d_2\le d_3\le \ldots.$ Sea $b_i$ el coeficiente principal de $f_i(x).$ Entonces, $$\langle b_1\rangle\subset \langle b_1,b_2\rangle\subset \langle b_1,b_2,b_3\rangle\subset \ldots$$ es cadena ascendente de ideales de $A$, y al ser $A$ noetheriano la cadena se estabiliza es decir, existe un número natural $m$ tal que $$b_{m+1}=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_mb_m$$ para ciertos $a_1,\ldots,a_m\in A.$ Sea ahora $$g_{m+1}(x)=f_{m+1}(x)-\sum_{i=1}^ma_ix^{d_{m+1}-d_i}f_i(x).\quad (*)$$ Desarrollando tenemos $$g_{m+1}(x)=b_{m+1}x^{d_{m+1}}+\ldots-\sum_{i=1}^ma_ix^{d_{m+1}-d_i}\left(b_ix^{d_i}+\ldots\right)$$ $$=\left(\sum_{i=1}^ma_ib_i\right)x^{d_{m+1}}+\ldots-\left(\sum_{i=1}^ma_ib_i\right)x^{d_{m+1}}-\ldots$$ y por tanto el coeficiente de $x^{d_{m+1}}$ es nulo. Es decir, $g_{m+1}(x)$ tiene grado estrictamente menor que $d_{m+1}.$ Por otra parte, $g_{m+1}(x)\notin I_m$ pues en caso contrario, y debido a la igualdad $(*)$ tendríamos $f_{m+1}(x)\in I_m$ lo cual es una contradicción. Es decir, tenemos $g_{m+1}(x)\in I-I_m$ con $\text{grado }g_{m+1}(x) < d_{m+1}$ lo cual contradice la minimalidad del grado de $f_{m+1}(x).$ $\qquad \square$
  2. Corolario. Para todo cuerpo $k$, el anillo de polinomios $k[x_1,\ldots,x_n]$ es noetheriano.
    Demostración. Por inducción sobre $n$. Los únicos ideales de $k$ son $\{0\}$ y $k$, por tanto $k$ es noetheriano. Por el teorema anterior, $k[x_1]$ es noetheriano. Si $k[x_1,\ldots,x_{n-1}]$ es noetheriano entonces, por el teorema anterior $k[x_1,\ldots,x_{n-1}][x_n]$ es noetheriano. Pero $k[x_1,\ldots,x_n]$ también es noetheriano pues es isomorfo a $k[x_1,\ldots,x_{n-1}][x_n].$ $\qquad \square$
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