Separación de puntos y espacio de Hausdorff

Demostramos una condición suficiente para que un espacio sea de Hausdorff en términos de separación de puntos.

  1. Definición. Sea $\mathscr{F}=\{f_i:X\to Y:i\in I\}$ una familia de aplicaciones entre los conjuntos $X$ e $Y.$ Se dice que $\mathscr{F}$ separa puntos si para todo par de puntos distintos $x$ e $y$ de $X$ existe $i\in I$ tal que $f_i(x)\ne f_i(y).$
  2. Ejemplo. La familia $\mathscr{F}=\{f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f_n(x)=\sin nx:n\in \mathbb{Z}_{>0}\}$ no separa puntos pues $f_n(0)=f_n(\pi)=0$ para todo $n\in\mathbb{Z}_{>0}$
  3. Teorema. Sea $X$ un espacio topológico y $\mathscr{C}(X,\mathbb{R})$ la clase de todas las funciones continuas de $X$ en $\mathbb{R}.$ Entonces, $$\mathscr{C}(X,\mathbb{R})\text{ separa puntos} \Rightarrow X\text{ es espacio de Hausdorff.}$$ Demostración. Sean $x,y\in X$ con $x\ne y.$ Por hipótesis $\mathscr{C}(X,\mathbb{R})$ separa puntos, luego existe una función continua $f:X\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)\ne f(y).$ Como $\mathbb{R}$ es espacio de Hausdorff, existen abiertos disjuntos $G$ y $H$ de $\mathbb{R}$ tales que $f(x)\in G$, $f(y)\in H.$ Por ser $f$ continua, $f^{-1}(G)$ y $f^{-1}(H)$ son abiertos de $X$ y además $x\in G,$ $y\in H.$ Por otra parte, $$f^{-1}(G)\cap f^{-1}(H)=f^{-1}(G\cap H)=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset,$$ lo cual implica que $X$ es espacio de Hausdorff. $\qquad\square$
Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática, Topología. Guarda el enlace permanente.