Caracterización de conjuntos algebraicos irreducibles

Demostramos una caracterización de los conjuntos algebraicos irreducibles

  1. Definición. Sea $k$ un cuerpo y $V\subset k^n$ un conjunto algebraico. Se dice que $V$ es reducible si existen $V_1,V_2$ conjuntos algebraicos de $k^n$ tales que $V=V_1\cup V_2$ con $V_1\ne V$ y $V_2\ne V.$
    En caso contrario se dice que $V$ es irreducible.
  2. Ejemplo. El conjunto algebraico $V=V(y^2-xy-x^2y+x^3)\subset\mathbb{R}^2$ es reducible. En efecto, el polinomio $f(x,y)=y^2-xy-x^2y+x^3$ se anula para $y=x$, y aplicando la regla de Ruffini como polinomio en $y$, $$\begin{array}{r|rrr}
    & 1 & -x -x^2& x^3 \\x & & x & -x^3 \\\hline & 1 & -x^2 & 0 \end{array}$$ es decir $f(x,y)=(y-x)(y-x^2).$ Entonces, $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y-x=0\;\vee\;y-x^2=0\}=V_1\cup V_2$$ con $V_1=V(y-x)$ (recta), $V_2=V(y-x^2)$ (parábola) y claramente $V_1\ne V$ y $V_2\ne V.$
  3. Teorema. Sea $V\subset k^n$ un conjunto algebraico. Entonces, $$V\text{ es irreducible}\Leftrightarrow I(V)\text{ es ideal primo.}$$ Demostración. $\Rightarrow)$ Por reducción al absurdo. Si $I(V)$ no es primo existen $f_1,f_2$ polinomios tales que $f_1f_2\in I(V),$ $f_1\notin I(V),$ $f_2\notin I(V).$ Como $f_1f_2\in I(V)$ se verifica $V(f_1f_2)\supset V\left(I(V)\right)=V$ por tanto, $$V=V\cap V(f_1f_2)=V\cap \left[V(f_1)\cup V(f_2)\right]=\left[V\cap V(f_1)\right]\cup \left[V\cap V(f_2)\right]=V_1\cup V_2.$$ Los conjuntos $V_1=V\cap V(f_1)$ y $V_2=V\cap V(f_2)$ son algebraicos y están contenidos en $V.$ Como $f_1\notin I(V)$, existe $a\in V$ tal que $f_1(a)\ne 0$, es decir $a\notin V(f_1)$ y por tanto $V_1\subsetneq V.$ Análogamente, $V_2\subsetneq V$, luego $V$ es reducible.
    $\Leftarrow)$ Por reducción al absurdo. Si $V$ es reducible, existen conjuntos algebraicos $V_1,V_2$ de $k^n$ con $V_1\subsetneq V$, $V_2\subsetneq V$ y $V=V_1\cup V_2.$ Se verifica $I(V_i)\supsetneq I(V)$ para $i=1,2$. En efecto, si fuera $I(V_i)=I(V)$. tomando $V$ en ambos miembros quedaría $V_i=V$ lo cual es absurdo. Sean $f_i\in I(V_i)$ con $f_i\notin I(V).$ Entonces, para todo $a\in V$ se verifica $(f_1f_2)(a)=f_1(a)f_2(a)=0.$ Es decit, $f_1f_2\in I(V)$ lo cual implica que $I(V)$ no es primo.
  4. Ejemplo. Si $k$ es un cuerpo infinito, sabemos que $I(k^n)=\{0\}$ y $\{0\}$ es ideal primo, por tanto $k^n$ es un conjunto algebraico irreducible.
  5. Ejemplo. Si $a=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ sabemos que $I(\{a\})=\langle x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n\rangle$ y que $\langle x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n\rangle$ es ideal maximal (por tanto primo). Es decir, $V=\{a\}$ es conjunto algebraico irreducible.
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