Descomposición de un conjunto algebraico en unión de irreducibles

Demostramos que todo conjunto algebraico es unión de conjuntos algebraicos irreducibles.

  1. Lema. Sea $A$ un anillo noetheriano y $\mathscr{S}$ una colección no vacía de ideales de $A.$ Entonces, $\mathscr{S}$ tiene un elemento maximal, es decir existe un ideal $I$ de $\mathscr{S}$ que no está contenido en ningún otro ideal de $\mathscr{S}.$
    Demostración. Elijamos un ideal en cada subconjunto no vacío de $\mathscr{S}.$ Sea $I_0$ el ideal elegido en $\mathscr{S}.$ Sea $\mathscr{S}_1=\{I\in \mathscr{S}:I\supsetneq I_0\}$ y sea $I_1$ el ideal elegido en $\mathscr{S}_1.$ Sea $\mathscr{S}_2=\{I\in \mathscr{S}:I\supsetneq I_1\}$ e $I_2$ el ideal elegido en $\mathscr{S}_2$ etc. Es suficiente demostrar que existe un $\mathscr{S}_m=\emptyset.$ Si no existiera tal $\mathscr{S}_m$ entonces, $I=\bigcup_{n=0}^\infty I_n$ es ideal de $A$ pues $I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2\subsetneq \ldots .$ Como $A$ es noetheriano, existen $f_1,\ldots,f_r$ unos generadores de $I.$ Para $n$ suficientemente grande ocurre que $f_i\in I_n$ para todo $i=1,\ldots,r.$ Entonces, $I_{n+1}=I$ lo cual es absurdo. $\qquad\square$
  2. Corolario. Sea $\mathscr{V}=\{V_k\}$ una familia no vacía de conjuntos algebraicos del espacio afín $k^n.$ Entonces, $\mathscr{V}$ posee un elemento minimal.
    Demostración. Efectivamente, consideremos el conjunto de ideales $\mathscr{S}=\{I(V_k)\}$ del anillo noetheriano $k[x_1,\ldots,x_n].$ Por el lema anterior, $\mathscr{S}$ posee un elemento maximal $I(V_n).$ Pero $$V_k\subset V_n\Rightarrow I(V_n)\subset I(V_k)\underbrace{\Rightarrow}_{I(V_n)\text{ maximal}}I(V_n)=I(V_k)$$ $$\Rightarrow V_n=V(I(V_n))=V(I(V_k))=V_k$$ y por tanto $V_n$ es minimal en $\mathscr{V}.$ $\qquad\square$
  3. Teorema. Sea $V$ un conjunto algebraico del espacio afín $k^n$. Entonces, existen conjuntos algebraicos irreducibles $V_1,\ldots,V_n$ de $k^n$ tales que $V=V_1\cup \ldots \cup V_n.$
    Demostración. Sea $\mathscr{V}$ el conjunto de los conjuntos algebraicos $V\subset k^n$ tales que $V$ no es unión de conjuntos algebraicos irreducibles. Tenemos que demostrar que $\mathscr{V}$ es vacío. Si $\mathscr{V}\ne\emptyset$, por el corolario anterior, sea $V$ un elemento minimal de $\mathscr{V}.$ Como $V\in\mathscr{V},$ $V$ no es irreducible y por tanto $V=V_1\cup V_2$ con $V=V_1\cup V_2$ con $V_i$ algebraicos y $V_i\subsetneq V $ para $i=1,2.$ Como los $V_i$ no pertenecen a $\mathscr{V}$ por ser $V$ maximal en $\mathscr{V}$, podemos escribir $V_i=V_{i1}\cup \ldots \cup V_{1m_{i}}$ con los $V_{ij}$ irreducibles, luego $V=\bigcup_{i,j}V_{ij}$ lo cual es absurdo pues de partida, $V$ no es unión de conjuntos algebraicos irreducibles. $\qquad\square$
  4. Nota. Precisaremos en qué sentido la descomposición del teorema anterior es única.
  5. Lema. Sea $V$ un conjunto algebraico irreducible del espacio afín $k^n.$ Si $V\subset V_1\cup\ldots\cup V_n$ con $V_1,\ldots,V_n$ algebraicos de $k^n,$ entonces $V\subset V_i$ para algún $i.$
    Demostración. Como $V\subset \bigcup_{j=1}^nV_j$, $V=(\bigcup_{j=1}^n)\cap V=\bigcup_{j=1}^n V\cap V_j.$ Al ser $V$ irreducible, $V=V\cap V_i$ para algún $i,$ y por tanto, $V\subset V_i.$ $\qquad\square$
  6. Nota. Sea $V$ un conjunto algebraico del espacio afín $k^n$ y $V=V_1\cup \ldots\cup V_m$ una descomposición de $V$ en donde los $V_j$ son conjuntos algebraicos irreducibles. Entonces cada $V_k$ está contenido en $V_1\cup \ldots\cup V_m,$ y por el lema anterior $V_k\subset V_i$ para algún $i$ con lo cual podemos descartar sucesivamente los $V_k$ que están contenidos en algún otro $V_i,$ llegando así a una descomposición de la forma $$V=V_1\cup \ldots\cup V_n\text{ con }V_i\not\subset V_j\text { si }i\ne j.$$ El siguiente teorema asegura que tal descomposición es única.
  7. Teorema. Sea $V$ un conjunto algebraico del espacio afín $k^n.$ Entonces, existen conjuntos algebraicos irreducibles de $k^n$, $V_1, \ldots,V_n$ unívocamente determinados tales que $$V=V_1\cup \ldots\cup V_n\text{ con }V_i\not\subset V_j\text { si }i\ne j.$$ Demostración. Sea $V$ un conjunto algebraico del espacio afín $k^n$ y sea $V=V_1\cup \ldots\cup V_n$ una descomposición de $V$ en unión de conjuntos algebraicos irreducibles tales que $V_i\not\subset V_j$ si $i\ne j.$ Sea $V=W_1\cup \ldots\cup W_m$ una descomposición del mismo tipo. Entonces, $$V_i=V\cap V_i=(\bigcup_{j=1}^mW_j)\cap V_i=\bigcup_{j=1}^m(W_j\cap V_i),$$ y por el lema 5, $V_i\subset W_{j(i)}\cap V_i$ para algún $j(i)$ y por tanto $V_i\subset W_{j(i)}$ para algún $j(i).$ Análogamente, $W_{j(i)}\subset V_k$ para algún $k.$ Pero $V_i\subset V_k$ implica $V_i=V_k$ luego $V_i=W_{j(i).}$ De la misma manera, cada $W_j$ es igual a un $V_{i(j)}.$ $\qquad\square$
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