Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo

Determinamos todas las matrices idempotentes de orden $2$ sobre cualquier cuerpo.

Enunciado
Para cualquier cuerpo $\mathbb{K}$, determinar todas las matrices idempotentes de $\mathbb{K}^{2\times 2}.$

Solución
Sabemos que todo endomorfismo idempotente $f:E\to E$ en un espacio vectorial de dimensión finita $E$ es diagonalizable con valores propios a lo sumo $0$ y $1$ (ver Endomorfismo idempotente). Por tanto, si $A\in\mathbb{K}^{2\times 2}$ es idempotente, es diagonalizable con matriz diagonal de alguna de las formas $$D_1=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad D_2=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\quad D_3=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad D_4=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$ Si $A\in\mathbb{K}^{2\times 2}$ es idempotente existe una matriz $P\in\mathbb{K}^{2\times 2}$ invertible tal que $A=PD_iP^{-1}$ para algún $i=1,2,3,4.$ Recíprocamente, si una matriz es de la forma $PD_iP^{-1}$ satisface $$\left(PD_iP^{-1}\right)^2=PD_iP^{-1}PD_iP^{-1}=PD_i^2P^{-1}=PD_iP^{-1}$$ y por tanto es idempotente. Toda matriz invertible de $\mathbb{K}^{2\times 2}$ es de la forma $$P=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix},\quad ad-bc\ne 0$$ y su inversa es $$P^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}.$$ En consecuencia, todas las matrices idempotentes de $\mathbb{K}^{2\times 2}$ son de alguna de las formas $$\begin{aligned}&PD_1P^{-1}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\\
&PD_2P^{-1}=\ldots=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}{-bc}&{ab}\\{-cd}&{ad}\end{bmatrix},\quad a,b,c,d\in\mathbb{K},\quad ad-bc\ne 0,\\
& PD_3P^{-1}=\ldots=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}{ad}&{-ab}\\{cd}&{-bc}\end{bmatrix},\quad a,b,c,d\in\mathbb{K},\quad ad-bc\ne 0,\\
& PD_4P^{-1}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.
\end{aligned}$$

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