Regiones determinadas por $n$ rectas del plano

Demostramos por inducción una fórmula para determinar el número de regiones determinadas por $n$ rectas del plano.

Enunciado
Demostrar por inducción que $n$ rectas del plano dos a dos no paralelas y tales que ninguna terna pasa por un punto común divide al plano en $R_n=(n^2+n+2)/2$ regiones.

Solución
Paso base. La fórmula es cierta para $n=1$ pues obtenemos $R_1=(1^2+1+2)/2=2$ regiones.

Paso de inducción. Sea la fórmula cierta para $n.$ Cada vez que se añade una recta a las $n$ existentes obtenemos $n$ intersecciones y añadimos $n+1$ regiones. En consecuencia, $$R_{n+1}=R_n+n+1=\dfrac{n^2+n+2}{2}+n+1$$ $$=\dfrac{n^2+3n+4}{2}=\dfrac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2}$$ y por tanto la fórmula es cierta para $n+1.$

Nota. A partir del razonamiento de inducción podríamos haber deducido la fórmula que da el enunciado. En efecto, de un sencillo análisis gráfico deducimos que $$R_1=2,\;R_2=2+2,\;R_3=2+2+3,\; R_4=2+2+3+4,\ldots$$ y por tanto, $$R_n=2+2+3+4+\ldots+n=1+\left(1+2+3+4+\ldots+n\right)$$ $$=1+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n^2+n+2}{2}.$$

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