Subespacios invariantes

Proporcionamos una colección de problemas resueltos sobre subespacios invariantes. Los teoremas que aparecen en el resumen teórico se demuestran a modo de problema.

Resumen teórico. A un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ también se le llama operador. Si $V$ un espacio vectorial, $T:V\to V$ un endomorfismo y $W$ un subespacio de $V$ se dice que $W$ es invariante por $T$ o que $W$ es $T-$ invariante si $T(W)\subset W$ es decir, si para todo $x\in W$ se verifica $T(x)\in W.$ Es claro que todo subespacio $W$ que sea $T-$ invariante induce un endomorfismo $\hat{T}:W\to W$ dado por $\hat{T}(w)=T(w).$
    Los subespacios $\{0\},$ $V,$ $\ker T,$ $\text{Im }T,$ son invariantes. Si $v\in V$ es vector propio no nulo de $T$ entonces, el subespacio $L[v]$ generado por $v$ es $T-$ invariante. Recíprocamente, si $W$ es un subespacio de dimensión $1$ generado por el vector no nulo $v$, es decir $W=L[v]$ entonces, $v$ es vector propio de $T.$ Como consecuencia, los subespacios invariantes de dimensión $1$ de un endomorfismo $T$ son exactamente los de la forma $L[v]$ con $v$ vector propio no nulo de $T$. Todo subespacio propio $V_\lambda$ de $V$ es invariante por $T.$
    Si $f(t)\in K[t].$ Entonces $\ker f(T)$ es un subspacio $T-$ invariante. Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita y $W$ es un subespacio invariante por un operador $T:V\to V$ entonces $T$ tiene una representación matricial por bloques $\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{0}&{C}\end{bmatrix}$ en donde $A$ es una representación matricial de la restricción $\hat{T}$ de $T$ a $W.$

    Enunciados
  1. Se considera el endomorfismo $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ dado por $$T\left [ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right ] =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \left [ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right ] .$$ Demostrar el subespacio $W$ de ecuación cartesiana $3x_1-5x_2+x_3=0$ es $T-$ invariante.
  2. Demostrar que la intersección de cualquier colección de subespacios de $V$ que son $T-$ invariantes, también es $T-$ invariante.
  3. Demostrar que todo subespacio de $V$ es invariante por los operadores $I$ y $\mathbf{0}$ (operadores identidad y nulo).
  4. Sea $W$ subespacio de $V$ invariante por los operadores $T_1,T_2:V\to V.$ Demostrar que también es invariante por los operadores $T_1+T_2$ y $T_1\circ T_2.$
  5. Sea $V$ un espacio vectorial y $T:V\to V$ un endomorfismo. Demostrar que los siguientes subespacios son invariantes por $T:$ $$\;(a)\;\{0\}.\quad (b)\; V.\quad (c)\; \ker T.\quad (d)\; \text{Im }T.$$
  6. Sea $V$ espacio vectorial sobre el cuerpo $K.$ Demostrar que
    $(i)$ Si $v\in V$ es vector propio no nulo de $T$ entonces, el subespacio $L[v]$ generado por $v$ es $T-$ invariante.
    $(ii)$ Recíprocamente, supongamos que $W$ es un subespacio de dimensión $1$ generado por el vector no nulo $v$, es decir $W=L[v].$ Entonces, $v$ es vector propio de $T$
  7. Determinar los subespacios invariantes del endomorfismo $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ $$T\begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix}.$$
  8. Determinar los subespacios invariantes de $$T\begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{-4}\\{5}&{-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\{x_2}\end{bmatrix},$$ visto como $(a)\;$ Un operador $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2.$ $(b)\;$ Un operador $T:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2.$
  9. Demostrar que todo subespacio propio $V_\lambda$ de $V$ es invariante por $T.$
  10. Sea $V$ un $\mathbb{R}$-espacio vectorial de dimensión $n >1$ e impar. Demostrar que cualquier operador sobre $V$ tiene un subespacio invariante distinto de $\{0\}$ y de $V.$
  11. Sean $V$ espacio vectorial sobre el cuerpo $K,$ $T:V\to V$ un endomorfismo y $f(t)\in K[t].$ Demostrar que $\ker f(T)$ es un subspacio $T-$ invariante.
  12. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y $W$ es un subespacio invariante por un operador $T:V\to V.$ Demostrar que $T$ tiene una representación matricial por bloques $\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{0}&{C}\end{bmatrix}$ en donde $A$ es una representación matricial de la restricción $\hat{T}$ de $T$ a $W.$
  13. Se considera el endomorfismo $T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ dado por $$T\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}\\{3}&{-5}&{3}\\{6}&{-6}&{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Demostrar que el subespacio $W=L[(1,1,2)^t]$ es $T-$ invariante.
    $(b)$ Encontrar a partir de $W$ una representación matricial de $T$ de la forma $$\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{0}&{C}\end{bmatrix}.$$
  14. Sea $T:V\to V$ un endomorfismo con $\dim V$ finita y $W$ un subespacio $T-$ invariante. Demostrar que el polinomio mínimo de la restricción $\hat{T}$ de $T$ a $W$ divide al polinomio mínimo de $T.$

Soluciones. Ver página 2.
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