Derivada de un campo escalar respecto de uno vectorial

Definimos el concepto de derivada de un campo escalar respecto de uno vectorial y demostramos algunas de sus propiedades.

  1. Definición. Sea $M\subset \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto, $F:M\to \mathbb{R}$ un campo escalar de clase $\ge 2$ en $M$ y $v:M\to \mathbb{R}^n$ un campo vectorial de clase $\ge 1$ en $M.$ Se llama derivada del campo escalar $F$ respecto del campo vectorial $v$ y se representa por $L_vF,$ al campo escalar $$L_vF:M\to \mathbb{R},\quad L_vF(x)=\langle \nabla F (x),v(x)\rangle.$$ Es decir, si $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $v=(v_1,\ldots,v_n),$ entonces, $$L_vF(x)=\dfrac{\partial F}{\partial x_1}(x)v_1(x)+\ldots +\dfrac{\partial F}{\partial x_n}(x)v_n(x).$$ Es claro que la derivada de un campo escalar respecto de uno vectorial es una función al menos de clase $1.$

  2. Teorema. Sean $M\subset \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto, $F,G:M\to \mathbb{R}$ dos campos escalares de clase al menos $2$ y $v,w:M\to \mathbb{R}^n$ dos campos vectoriales de clase al menos $1.$ La derivada de un campo escalar respecto de uno vectorial satisface las propiedades:
    $(1)\;$ $L_v(F+G)=L_vF+L_vG.$
    $(2)\;$ $L_v(F\cdot G)=L_vF\cdot G+F\cdot L_vG.$
    $(3)\;$ $L_{v+w}F=L_vF+L_wF.$
    $(4)\;$ $(L_{F\cdot v})(G)=(F\cdot L_v)(G).$
    Demostración. $(1)\;$ Para todo $x\in M$ tenemos: $$L_v(F+G)(x)=\langle \nabla (F+G) (x),v(x)\rangle$$ $$=\langle \nabla F (x)+\nabla G (x),v(x)\rangle$$ $$=\langle \nabla F (x),v(x)\rangle+\langle \nabla G (x),v(x)\rangle$$ $$=L_vF(x)+L_vG(x)$$ $$=(L_vF+L_vG)(x)$$ es decir, $L_v(F+G)=L_vF+L_vG.$
    $(2)\;$ Para todo $x\in M$ tenemos: $$L_v(F\cdot G)(x)=\langle \nabla (F\cdot G)(x),v(x) \rangle$$ $$=\langle \nabla F(x)\cdot G(x)+F(x)\cdot \nabla G (x),v(x) \rangle$$ $$=\langle \nabla F(x)\cdot G(x),v(x) \rangle+\langle F(x)\cdot \nabla G (x),v(x) \rangle$$ $$=\langle \nabla F(x),v(x) \rangle \cdot G(x) +F(x)\cdot\langle \nabla G(x),v(x) \rangle$$ $$= L_vF(x)\cdot G(x)+F(x)\cdot L_vG(x)$$ $$=(L_vF\cdot G+F\cdot L_vG)(x)$$ y por tanto, $L_vF\cdot G+F\cdot L_vG.$
    $(3)\;$Para todo $x\in M$ tenemos: $$L_{v+w}F(x)=\langle \nabla F(x),(v+w)(x)\rangle$$ $$=\langle \nabla F(x),v(x)+w(x)\rangle$$ $$=\langle \nabla F(x),v(x)\rangle + \langle \nabla F(x), w(x)\rangle$$ $$=L_vF(x)+L_wF(x)$$ $$=(L_vF+L_wF)(x)$$ en consecuencia, $L_vF+L_wF.$
    Para todo $x\in M$ se verifica $$L_{F\cdot v}(G)(x)=\langle \nabla G (x), (F\cdot v)(x)\rangle$$ $$=\langle \nabla G (x), F(x)\cdot v(x)\rangle$$ $$=F(x)\cdot \langle \nabla G (x), v(x)\rangle$$ $$=F(x)\cdot L_vG(x)$$ $$=(F\cdot L_vG)(x)$$ es decir, $(L_{F\cdot v})(G)=(F\cdot L_v)(G).$

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