Conjunto ordenado de las cortaduras de Dedekind

        Definimos las cortaduras de Dedekind y establecemos entre ellas un orden total que extiende al usual de los racionales y en el que se verifica el axioma del supremo.

  1. Definición. Sea $\mathbf{r}$ un subconjunto de $\mathbb{Q}.$ Se dice que $\mathbf{r}$ es una cortadura de Dedekind si se verifican las condiciones $$\begin{aligned}
    & (D1)\quad \emptyset\ne \mathbf{r}\ne \mathbb{Q}.\\
    & (D2)\quad p\in \mathbf{r}\;\wedge\; q\in \mathbb{Q}\;\wedge\;q < p\Rightarrow q\in \mathbf{r}.\\ & (D3)\quad \forall p\in \mathbf{r}\;\exists q\in \mathbf{r}: p < q. \end{aligned}$$ Es decir, una cortadura de Dedekind es cualquier subconjunto de números racionales que contiene algún número racional pero no todos, que cada número racional que está en el conjunto es menor que cualquiera que no está en el conjunto y que no contiene máximo.

  2. Observación. Nótese que si $\mathbf{r}$ es cortadura de Dedekind, entonces se verifica $p\in \mathbf{r}\;\wedge\; q\in \mathbb{Q}\setminus\mathbf{r}\Rightarrow p < q.$

  3. Definición. A cualquier cortadura de Dedekind la llamamos número real y al conjunto de todos los números reales lo denotamos por $\mathbb{R}.$ Es decir, $$\mathbb{R}=\{\mathbf{r}: \mathbf{r}\text{ es cortadura de Dedekind}\}.$$

  4. Notación. Si $q\in \mathbb{Q}$ es claro que $\mathbf{q^\ast}=\{x\in \mathbb{Q}: x < q\}$ es un cortadura de Dedekind y denotamos $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}$ al conjunto $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}=\{\mathbf{q^\ast}:q\in \mathbb{Q}\}.$

  5. Teorema. La aplicación $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}_{\mathbb{R}}$ dada por $f(q)= \mathbf{q^\ast}$ es biyectiva.
    Demostración. Si $f(p)=f(q)$, entonces $\mathbf{p^\ast}=\mathbf{q^\ast}.$ Esto implica que $p=q.$ En efecto, si fuera $p < q$ eligiendo el racional $r=(p+q)/2$ tendríamos $p < r < q$ con lo cual $r\in \mathbf{q^\ast}$ y $r\notin \mathbf{p^\ast}$ lo cual contradice $\mathbf{p^\ast}=\mathbf{q^\ast}.$ Análogo razonamiento si $q < p.$ Concluimos que $f$ es inyectiva. La aplicación $f$ es trivialmente sobreyectiva por construcción. $\quad\square$
    Podemos por tanto considerar $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}$ como una copia natural de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}.$

  6. Teorema. La relación binaria en $\mathbb{R}$ dada por $\mathbf{r}\le \mathbf{s}\Leftrightarrow \mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ es de orden.
    Demostración. Para todo $\mathbf{r}\in\mathbb{R}$ se verifica $\mathbf{r}\subset \mathbf{r},$ por tanto $\mathbf{r}\le \mathbf{r}.$ Si $\mathbf{r}\le \mathbf{s}$ y $\mathbf{s}\le \mathbf{r}$ entonces $\mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ y $\mathbf{s}\subset \mathbf{r}$ con lo cual $\mathbf{r}= \mathbf{s}.$ Si $\mathbf{r}\le \mathbf{s}$ y $\mathbf{s}\le \mathbf{t}$ entonces $\mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ y $\mathbf{s}\subset \mathbf{t}$ con lo cual $\mathbf{r}\subset \mathbf{t}$ y por tanto $\mathbf{r}\le \mathbf{t}.$ $\quad\square$

  7. Teorema. Para cada par $\mathbf{r},\mathbf{s}\in\mathbb{R}$ se verifica una y sólo una de las relaciones: $\mathbf{r}=\mathbf{s},$ $\mathbf{r} < \mathbf{s},$ $\mathbf{s} < \mathbf{r}.$ Es decir, la relación $\le$ es de orden total en $\mathbb{R}.$
    Demostración. Sea $\mathbf{r}\ne\mathbf{s}.$ Entonces, o bien existe $q\in\mathbf{r}$ tal que $q\notin\mathbf{s}$ o bien existe $q\in\mathbf{s}$ tal que $q\notin\mathbf{r}.$ Supongamos que ocurre lo primero. Como $q\in\mathbf{r},$ todos los racionales menores que $q$ están contenidos en $\mathbf{r}.$ Como $q\notin\mathbf{s},$ todos los racionales en $\mathbf{s}$ son menores que $q$ lo cual implica que $\mathbf{s}\subsetneq \mathbf{r}.$ Es decir, $\mathbf{s} < \mathbf{r}.$ De manera análoga se demuestra que si existe $q\in\mathbf{s}$ tal que $q\notin\mathbf{r}$ entonces $\mathbf{r} < \mathbf{s}.$ $\quad\square$
            Si $p,q\in \mathbb{Q}$ es claro que $p < q$ es equivalente a $\mathbf{p^\ast} < \mathbf{q^\ast}$ lo cual implica que el orden en $\mathbb{Q}$ es el mismo que en su copia $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}.$

  8. Conclusión. El conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales (o cortaduras de Dedekind) es un conjunto totalmente ordenado por la relación $\mathbf{r}\le \mathbf{s}\Leftrightarrow \mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ y la restricción de éste orden a la copia $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}$ de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ es el mismo que el orden natural en $\mathbb{Q}$.

  9. Teorema (Axioma del supremo). Todo subconjunto no vacío de números reales y acotado superiormente, tiene supremo.
    Demostración Sea $A$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ y $\mathbf{s}$ una cota superior de $A.$ Definimos $\mathbf{t}=\bigcup_{\mathbf{r}\in A}\mathbf{r}.$ Veamos que $\mathbf{t}$ es una cortadura de Dedekind.
            $(D1)$ Como $A\ne\emptyset,$ existe $\mathbf{r}_0\in A.$ Al ser $\mathbf{r}_0\ne \emptyset$ y $\mathbf{r}_0\subset \mathbf{t},$ se verifica $\mathbf{t}\ne\emptyset.$ Por otra parte, como $ \mathbf{s}\ne \mathbb{Q}$ y $\mathbf{s}$ es cota superior de $A,$ tenemos $\mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ para todo $\mathbf{r}\in A$ y por tanto $\mathbf{t}=\bigcup_{\mathbf{r}\in A}\mathbf{r}\subset \mathbf{s}$ con lo cual $\mathbf{t}\ne\mathbb{Q}.$
            $(D2)$ Sea $p\in\mathbf{t}.$ Entonces, $p\in\mathbf{r}_1$ para alguna $\mathbf{r}_1\in A.$ Si $q < p,$ entonces $q\in \mathbf{r}_1,$ con lo cual $q\in\mathbf{t}.$
            $(D3)$ Sea $p\in\mathbf{t}$ y elijamos $r\in\mathbf{r}_1$ tal que $r > p.$ Como $\mathbf{r}_1\subset \mathbf{t},$ se verifica $r\in\mathbf{t}.$
    Veamos que $\mathbf{t}$ es extremo superior de $A.$ En efecto, es claro que $\mathbf{r} < \mathbf{t}$ para toda $\mathbf{r}\in A,$ por tanto, $\mathbf{t}$ es cota superior de $A.$ Supongamos que una cortadura $\mathbf{u}$ satisface $\mathbf{u} < \mathbf{t}.$ Entonces, existe $q\in \mathbf{t}$ con $q\notin \mathbf{u}.$ Como $q\in \mathbf{t},$ ha de cumplirse $q\in \mathbf{r}$ para alguna $\mathbf{r}\in A.$ Entonces, $\mathbf{u}<\mathbf{r}$ con lo cual, $\mathbf{u}$ no es cota de $A.$ Concluimos que $\mathbf{t}=\sup A.$

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