Ecuación de cuarto grado

Propocionamos un método para la resolución de la ecuación de cuaroo grado o cuártica (Método de Ferrari).

  1. Nota. Es claro que toda ecuación cuártica o de cuarto grado con coeficientes complejos se puede expresar en la forma $$(E):\;x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=0,\;(a,b,c,d\in\mathbb{C}).$$

  2. Teorema. La ecuación de cuarto grado $(E): x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=0$ con coeficientes complejos $a,b,c,d$ se reduce a la resolución de una ecuación cúbica auxiliar y a la de dos cuadráticas (Método de Ferrari).
    Demostración. Escribamos la igualdad $$x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=(x^2+ax+A)^2-(Bx+C)^2.$$ Desarrollando el segundo miembro obtenemos $$\begin{aligned}
    & x^4+2ax^3+bx^2+2cx+d=\\
    & x^4+2ax^3+(a^2+2A-B^2)x^2+2(aA-BC)x+A^2-C^2.
    \end{aligned}$$ Identificando coeficientes, $$\left \{ \begin{matrix} b=a^2+2A-B^2\\c=aA-BC\\d=A^2-C^2.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} B^2=a^2+2A-b\quad(1)\\BC=aA-c\quad (2)\\C^2=A^2-d.\quad (3)\end{matrix}\right.$$ Entonces, $(1)\times (3)$ proporciona $B^2C^2=(a^2+2A-b)(A^2-d)$ y $(2)^2$ proporciona $B^2C^2=(aA-c)^2.$ Eliminando $B^2C^2$ queda $$(aA-c)^2=(a^2+2A-b)(A^2-d).$$ Obtenemos así una ecuación de tercer grado en $A.$ Elegida una solución y hallando $B$ y $C,$ podemos expresar la ecuación de cuarto grado en la forma: $$(x^2+ax+A)^2-(Bx+C)^2=0$$ o bien de la forma $[x^2+(a+B)x+C]\cdot[x^2+(a-B)x-C]=0,$ lo cual equivale a resolver dos ecuaciones cuadráticas. $\qquad\square$

  3. Ejemplo. Resolvamos la ecuación de cuarto grado $x^4+2x^3-x^2-2x-3=0.$ En este caso, $a=1$ por tanto tenemos que hallar $A,B,C$ tales que $$x^4+2x^3-x^2-2x-3=(x^2+x+A)^2-(Bx+C)^2.$$ Desarrollando el segundo miembro obtenemos $$x^4+x^2+A^2+2x^3+2Ax^2+2Ax-B^2x^2-C^2-2BCx$$ $$=x^4+2x^3+(1+2A-B^2)x^2+2(A-BC)x+A^2-C^2.$$ Identificando coeficientes, $$\left \{ \begin{matrix} -1=1+2A-B^2\\-1=A-BC\\-3=A^2-C^2.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} B^2=2+2A\quad(1)\\BC=1+A\quad (2)\\C^2=3+A^2.\quad (3)\end{matrix}\right.$$ Entonces, $(1)\times (3)$ proporciona $B^2C^2=(2+2A)(3+A^2)$ y $(2)^2$ proporciona $B^2C^2=(1+A)^2.$ Eliminando $B^2C^2$ queda $$(1+A)^2=(2+2A)(3+A^2).$$ Una solución de esta ecuación de tercer grado es $A=-1,$ y para este valor de $A$ obtenemos $B^2=0,$ es decir $B=0$ y $C^2=4$ es decir $C=\pm 2,$ y elegimos por ejemplo $C=2.$ Podemos por tanto escribir la ecuación dada en la forma: $$x^4+2x^3-x^2-2x-3=(x^2+x-1)^2-2^2$$ $$=(x^2+x+1)(x^2+x-3)=0$$ $$\Leftrightarrow x^2+x+1=0\;\vee\; x^2+x-3=0.$$ Resolviendo estas dos ecuaciones cuadráticas obtenemos las soluciones de la ecuación de cuarto grado dada: $$\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2},\;\dfrac{-1\pm \sqrt{13}}{2}.$$

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