Duplicación del cubo

El problema de la duplicación del cubo consiste en dado un cubo, hallar la arista de otro cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado. Las técnicas del álgebra son capaces de resolver este problema de forma trivial. Demostramos sin embargo que el problema no tiene solución por regla y compás.

  1. Teorema. Si el punto $Q(x,y)$ es construible por regla y compas a partir del subconjunto $\mathcal{P}_0$ de $\mathbb{R}^2$ y $K_0$ es el subuerpo de $\mathbb{R}$ generado por las abscisas y ordenadas de los puntos de $\mathcal{P}_0,$ entonces los grados $[K_0(x):K_0]$ y $[K_0(y):K_0]$ son potencias de $2.$
    Demostración. Ver Regla y compás (teorema 8).

  2. Teorema. El problema de la duplicación del cubo no tiene solución usando construcciones por regla y compás.
    Demostración. Supongamos dado un cubo, y sin pérdida de generalidad podemos suponer que su arista es el intervalo unidad del eje $x,$ es decir $\mathcal{P}_0=\{(0,0),(1,1)\},$ con lo cual $K_0=\mathbb{Q}.$ Las otras distancias entre los vértices del cubo dado son $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3},$ por tanto los vértices del cubo dado son construibles por regla y compás a partir de $\mathcal{P}_0.$ Si fuera posible la duplicación del cubo por regla y compás, podríamos construir un punto $(\alpha,0)$ tal que $\alpha^3=2.$ El polinomio $p(x)=x^3-2$ es mónico, irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ y $\alpha$ es raíz de $p(x)$ en consecuencia $p(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$ con lo cual $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=3$ no es potencia de $2$ (contradicción). Concluimos que la duplicación del cubo no es posible por regla y compás.

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