EDO por cambio de variable independiente

Resolvemos una EDO de segundo orden por medio de un cambio de variable independiente.

Enunciado
Para $0 < x <1$ consideremos la ecuación diferencial $$x(1-x^2)^2y^{\prime\prime}-(1-x^2)^2y^\prime+5x^3y=0.$$ Resolverla usando el cambio de variable independiente $t=-\dfrac12\ln(1-x^2).$

Solución
Para $0 < x < 1$ se verifica $0 < 1-x^2 < 1$ con lo cual, existe la aplicación $$t:(0,1)\to (0,+\infty),\quad t=-\dfrac12\ln(1-x^2)$$ y es fácil verificar que es biyectiva. Tenemos: $$ \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{-2x}{1-x^2}=\frac{x}{1-x^2}.$$ $$y^\prime=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{x}{1-x^2}.\quad (1)$$ Por otra parte, $$y^{\prime\prime}=\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{x}{1-x^2}\right)$$ $$=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right)\cdot \dfrac{x}{1-x^2}+\frac{dy}{dt}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x^2}\right) $$ $$\underbrace{=}_{\text{por }(1)}\dfrac{d^2y}{dt^2}\cdot \dfrac{x}{1-x^2}\cdot \dfrac{x}{1-x^2}+\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$$ $$=\dfrac{d^2y}{dt^2}\cdot \dfrac{x^2}{(1-x^2)^2}+\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}.$$ Sustituyendo en la ecuación diferencial, $$x(1-x^2)^2\left(\dfrac{d^2y}{dt^2}\cdot \dfrac{x^2}{(1-x^2)^2}+\dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}\right)$$ $$-(1-x^2)^2\cdot \dfrac{dy}{dt}\cdot \dfrac{x}{1-x^2}+5x^3y=0.$$ Simplificando queda $$x^3\dfrac{d^2y}{dt^2}+2x^3\dfrac{dy}{dt}+5x^3y=0$$ y por hipótesis $x\ne 0$ al ser $0 < x < 1.$ El cambio de variable independiente dado transforma la ecuación diferencial dada en $$\dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+5y=0,$$ que es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes. La ecuación característica es $\lambda^2+2\lambda +5=0$ cuyas raíces son $-1\pm 2i.$ Una base del espacio de las soluciones es $B=\{e^{-t}\cos 2t, e^{-t}\sin 2t\}$ y por tanto la solución general es $$y=C_1e^{-t}\cos 2t+C_2e^{-t}\sin 2t,\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.$$ Deshaciendo el cambio de variable independiente: $$e^{-t}=e^{\frac{1}{2}\log (1-x^2)}=e^{\ln (1-x^2)^{1/2}}=\sqrt{1-x^2}.$$ La solución general de la ecuación dada es por tanto $$y=\sqrt{1-x^2}\left[C_1 \cos \left(\log (1-x^2\right)-C_2 \sin \left(\log (1-x^2\right)\right].$$

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