Topologías de Zariski y usual en $k^n$

Demostramos que para $k=\mathbb{R}$ o $k=\mathbb{C},$ la topología de Zariski en $k^n$ es estrictamente menos fina que la usual.

  1. Teorema. Si $F\in k[X_1,\ldots,X_n]$ entonces $V(F)$ es cerrado en $k^n$ con la topología usual.
    Demostración. La función $F:k^n,\to k,$ es polinómica y por tanto continua con las topologías usuales. Como $\{0\}\subset k$ es cerrado con la topología usual, $V(F)=F^{-1}(\{0\})$ es cerrado en $k^n$ con la topología usual. $\quad \square$

  2. Teorema. Si $F\in k[X_1,\ldots,X_n]$ y $V(F)$ contiene a un abierto no vacío de $k^n$ con la toplogía usual, entonces $F=0.$
    Demostración. Usamos inducción sobre el número de indeterminadas del polinomio. El resultado es válido para un polinomio con una indeterminada. En efecto, si $F\ne 0$ entonces $V(F)$ es finito y por tanto no puede contener a un abierto de $k$ con la topología usual. Supongamos que es cierta la proposición para polinomios con $n-1$ indeterminadas y $n\ge 2$ y escribamos un polinomio $F$ con $n$ indeterminadas en la forma $$F(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{j=0}^d G_j(X_1,\ldots,X_{n-1})X_n^j.\quad (1)$$ Podemos asumir que $d > 0$ pues en caso contrario no aparecería $X_n$ y la proposición se deduce de la hipótesis de inducción. Supongamos que $F=0$ sobre un abierto $U\ne \emptyset$ con respecto de la topología usual, sea $(a_1,\ldots,a_n)\in U$ y elijamos $h > 0$ tal que $\prod_{i=1}^n B(a_i,h)\subset U$ en donde $B(a_i,h)$ representa la bola de centro $a_i$ y radio $h > 0.$ Si $(x_1,\ldots,x_n)\in U$, tenemos $$F(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{j=0}^d G_j(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n^j.$$ Entonces, para cada $(x_1,\ldots,x_{n-1})\in \prod_{i=1}^{n-1}B(a_i,h)$ el polinomio $$f(X_n)=F(x_1,\ldots,x_{n-1},X_n)=\sum_{j=0}^d G_j(x_1,\ldots,x_{n-1})X_n^j$$ se anula si $X_n=x_n\in B(a_n,h)$ y al ser la proposición cierta para una indeterminada, $f=0.$ Entonces, $G_j(x_1,\ldots,x_{n-1})=0$ para todo $j=0,1,\ldots, d$ y para todo $(x_1,\ldots,x_{n-1})\in \prod_{i=1}^{n-1}B(a_i,h).$ Por la hipótesis de inducción, ha de ser $G_j=0$ para todo $j=0,1,\ldots, d$ lo cual implica por $(1)$ que $F=0.$ $\quad \square$

  3. Teorema. Si $F\in k[X_1,\ldots,X_n]$ es no nulo, entonces $k^n-V(F)$ es abierto y denso en $k^n$ con la topología usual.
    Demostración. Por el teorema 1, $k^n-V(F)$ es abierto con la topología usual. Sea $U$ $\ne$ $\emptyset$ abierto con la topología usual. Por el teorema 2, $U$ no está contenido en $V(F)$ y por tanto $U-V(F)$ $=$ $U\cap (k^n-V(F))$ $\ne$ $\emptyset$ con lo cual $k^n-V(F)$ es denso en $k^n$ con la topología usual. $\quad \square$

  4. Teorema. Todo abierto no vacío de $k^n$ con la topología de Zariski es abierto y denso en $k^n$ con la topología usual.
    Demostración. Todo abierto no vacío con la topología de Zariski es de la forma $k^n-V$ con $V\ne k^n$ algebraico. El conjunto $V$ es de la forma $V=V(F_1,\ldots,F_r)=\cap_{j}V(F_j).$ Entonces, $$k^n-V=k^n\cap\left(\cap_{j}V(F_j)\right)^c=k^n\cap\left(\cup_jV(F_j)^c\right)$$ $$=\cup_j\left(k^n\cap\left(V(F_j)^c\right)\right)=\cup_j\left(k^n-V(F_j)\right).$$ Como $\cap_{j}V(F_j)\ne k^n,$ algún $F_j$ (sea éste $F_k$) ha de ser no nulo con lo cual, por el teorema 3, su clausura con la topología usual es $\overline{k^n-V(F_k)}=k^n$ y cada $k^n-V(F_j)$ es abierto con la topología usual (vacío si $F_j=0$) con lo cual $k^n-V$ es abierto con la toplogía usual (unión de abiertos). También es denso pues, $$\overline{k^n-V}=\overline{\cup_j\left(k^n-V(F_j)\right)}=\cup_j\overline{k^n-V(F_j)}$$ $$=\underbrace{\overline{k^n-V(F_k)}}_{k^n}\cup\left(\cup_{j\ne k}\overline{k^n-V(F_j)}\right)=k^n. \quad \square$$

  5. Corolario. La topología de Zariski en $k^n$ es estrictamente menos fina que la usual.
    Demostración. Por el teorema 4, es más fina y todo abierto Zariski es denso en $k^n$ con la toplogia usual por tanto, todo abierto no denso en $k^n$ con la topología usual (por ejemplo toda bola abierta) no es abierto Zariski. $\quad\square$

  6. E
    Demostración. D

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