Polinomio que se anula en $k^n$

Demostramos que si un polinomio $F$ se anula en todos los puntos de $k^n$ con $k$ cuerpo infinito, entonces $F=0.$

  • Teorema. Sea $k$ un cuerpo conmutativo infinito y $F\in k[X_1,\ldots,X_n].$ Si $F$ se anula en todos los puntos de $k^n$ entonces, $F$ es el polinomio nulo.
    Demostración. Por inducción sobre $n.$ Si $0\ne F\in k[X]$ entonces $F$ tiene un número finito de raíces con lo cual $F$ no puede anularse en todos los puntos de $k.$ Es decir, el resultado es cierto para $n=1,$
           Sea cierto el resultado para $n-1$ $(n\ge2)$ y veamos que es cierto para $n.$ Consideremos $F\in k[X_1,\ldots,X_n]$ con $F\ne 0$ y $F$ no constante. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $$F(X_1,\ldots,X_n)=G(X_1,\ldots,X_{n-1})X_n^r+\ldots$$ con $G\ne 0$ y $r\ge 1.$ Por hipótesis de inducción existe $(x_1,\ldots,x_{n-1})\in k^{n-1}$ tal que $G(x_1,\ldots,x_{n-1})\ne 0.$ El polinomio de primer grado $F(x_1,\ldots,x_{n-1},X_n)$ tiene a lo sumo $r$ raíces, por tanto $F$ no se anula en todo $k^n.$

  • Nota. El teorema anterior no es cierto si $k$ es finito. En efecto, sea $k=\mathbb{Z}_2=\{\bar{0},\bar{1}\}$ y consideremos $F(x)=X^2-X\in \mathbb{Z}_2[X].$ Tenemos $F(\bar{0})=F(\bar{1})=0$ y $F\ne 0.$ Más general, sea $p$ primo y consideremos $F(X)=X^p-X\in\mathbb{Z}_p[X].$ Según el pequeño teorema de Fermat, para todo entero $a$ se verifica que $a^p-a$ es múltiplo de $p.$ Entonces, para todo $\bar{a}\in \mathbb{Z}_p,$ $F(\bar {a})=\overline{a}^{\;p}-\bar{a}=\bar{0}.$ Sin embargo, $F\ne 0.$

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