Conjuntos equivalentes

Definimos el concepto de conjuntos equivalentes.

  1. Definición. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Se dice que $A$ es equivalente a $B$ y se escribe $A\sim B$ si existe una aplicación biyectiva $f:A\to B$.

  2. Definición. Un conjunto $A$ se dice que es finito si es equivalente a $\{1,2,\ldots,n\}$ para algún $n$ natural, en otro caso se dice que es infinito.

  3. Teorema. En cualquier clase $\mathcal{C}$ de conjuntos, la relación $A\sim B$ es de equivalencia.
    Demostración. Para todo $A\in\mathcal{C}$ la aplicación identidad $I_A:A\to A$ es biyectiva, y por tanto $A\sim A$. Si $A\sim B$ existe $f:A\to B$ biyectiva. Pero $f^{-1}:B\to A$ es biyectiva con lo cual $B\sim A$. Si $A\sim B$ y $B\sim C$ existen aplicaciones biyectivas $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Pero $g\circ f :A\to C$ es biyectiva con lo cual $A\sim C$.

  4. Nota. Claramente dos conjuntos finitos son equivalentes si y sólo si contienen el mismo número de elementos.

  5. Ejemplo. Los conjuntos $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{a,b,c\}$ son equivalentes.

  6. Ejemplo. Si $\mathbf{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ y $P=\{2,4,6,\ldots\}$ la aplicación $f:\mathbf{N}\to P$ dada por $f(n)=2n$ es biyectiva y por tanto $\mathbf{N}\sim P$.

  7. Ejemplo. Demostremos que $(-1,1)$ es equivalente al conjunto de los números reales $\mathbf{R}.$ Para ello consideremos la aplicación $$f:(-1,1)\to \mathbf{R},\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.$$ La función está bien definida pues si $x\in (-1,1)$, entonces $|x| < 1$ y el denominador $1-|x|$ no se anula. Veamos que es inyectiva. $$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow \dfrac{x_1}{1-\left|x_1\right|}=\dfrac{x_2}{1-\left|x_2\right|}.\quad (1)$$ Tomando módulos queda $$\frac{|x_1|}{1-\left|x_1\right|}=\frac{|x_2|}{1-\left|x_2\right|}$$ o bien, $|x_1|-|x_1||x_2|=|x_2|-|x_1||x_2|$ lo cual implica $|x_1|=|x_2|,$ y consecuentemente $1-|x_1|=1-|x_2|.$ Sustituyendo en $(1),$ queda $x_1=x_2.$Veamos que $f$ es sobreyectiva. Podemos expresar $f(x)$ en la forma: $$f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{1-x} & \mbox{ si }& x\in [0,1)\\\dfrac{x}{1+x} & \mbox{si}& x\in (-1,0).\end{matrix}\right.$$ Si $y\geq 0$, entonces igualando $y=\frac{x}{1-x}$ obtenemos $x=\frac{y}{1+y}\in [0,1)$. Si $y < 0$, entonces igualando $y=\frac{x}{1+x}$ obtenemos $x=\frac{y}{1-y}\in (-1,0)$. Es decir, para todo $y\in\mathbb{R}$ existe $x\in (-1,1)$ tal que $y=f(x)$ y por tanto, $f$ es sobreyectiva.

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