Conjuntos numerables y contables

Definimos los conceptos de conjunto numerable y contable y estudiamos alguna de sus propiedades.

  1. Definición. Sea $\mathbf{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los números naturales. Un conjunto $X$ se dice que es numerable o que tiene cardinalidad $\aleph_0$, si $X$ es equivalente a $\mathbf{N}.$ Un conjunto $X$ se dice que es contable si es finito o numerable.

  2. Ejemplo. Toda sucesión infinita $a_1,a_2,a_3,\ldots$ formada por distintos términos dos a dos es numerable pues la aplicación $f:\mathbf{N}\to \{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ dada por $f(n)=a_n$ es biyectiva.

  3. Ejemplo. El conjunto $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ es numerable. En efecto, sea $n\ge 1$ un número natural. Por el teorema fundamental de la aritmética existen únicos números naturales $k\ge 1$, $m\ge 1$ tales que $n=2^{k-1}(2m-1).$ Definamos la aplicación $f:\mathbf{N}\to\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ tal que $f(n)=(m,k)$. Entonces, $f$ es sobreyectiva pues $f(2^{k-1}(2m-1))=(k,m)$ y $f$ es inyectiva porque si $(m_1,k_1)=(m_2,k_2)$ entonces $2^{k_1-1}(2m_1-1)=2^{k_2-1}(2m_2-1)$.

  4. Teorema. Cada conjunto infinito contiene un conjunto numerable.
    Demostración. Sea $X$ un conjunto infinito y sea $f:\mathcal{P}(X)\to X$ una función de elección, es decir para cada $\emptyset \ne A\subset X$ se verifica $f(A)\in A.$ Construimos la sucesión: $$\begin{aligned}
    & a_1=f(X) ,\; a_2=f\left (X-\{a_1\}\right),\; a_3=f\left (X-\{a_1,a_2\}\right),\\
    &\ldots, \; a_n=f\left (X-\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\}\right),\; \ldots
    \end{aligned}$$ Como $X$ es infinito, $X-\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$ es no vacío para todo $n$ y claramente $a_n\ne a_i$ para todo $i < n,$ es decir, los $a_n$ son distintos por tanto, $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es un subconjunto numerable de $X.$

  5. Teorema. Cualquier subconjunto de un conjunto contable es contable.
    Demostración. Si $X$ es contable entonces $X$ es numerable o contable. Sea $X=\{a_1,a_2,\ldots\}$ numerable y $A\subset X.$ Si $A=\emptyset$ entonces $A$ es finito. Si $A\ne \emptyset$, sea $n_1$ el menor entero positivo tal que $a_{n_1}\in A.$ Sea $n_2$ el menor entero positivo tal que $n_2 > n_1$ y $a_{n_2}\in A,$ etc. Entonces, $A=\{a_{n_1},a_{n_2},\ldots\}.$ Si el conjunto $\{n_1,n_2,\ldots\}$ es acotado, $A$ es finito y si no lo es, $A$ es numerable.
    Si $X$ es finito cualquiera de sus subconjuntos es finito y por tanto contable.

  6. Teorema. Un conjunto es infinito si y sólo si es equivalente a un subconjunto propio.
    Demostración. Si $X$ es finito con $n$ elementos, cualquier subconjunto propio $Y$ tiene $m$ elementos con $m < n$ con lo cual no existe biyección entre $X$ e $Y.$ Si $X$ es infinito, por el teorema 4 contiene a un conjunto numerable $Y=\{y_1,y_2,y_3,\ldots\}.$ La aplicación $f:Y\to Y-\{y_1\}$ dada por $f(y_i)=y_{i+1}$ es biyectiva. La extensión $\bar{f}:X\to X-\{y_1\}$ de $f$ dada por $\bar{f}(x)=x$ si $x\notin Y$ y $\bar{f}(x)=f(x)$ si $x\in Y$ también es biyectiva, con lo cual $X$ es equivalente a su subconjunto propio $X-\{y_1\}.$

  7. Teorema. Sea $\{A_1,A_2,\ldots\}$ una familia numerable y disjunta de conjuntos numerables. Entonces, $\cup_{i=1}^{\infty}A_i$ es numerable.
    Demostración. Al ser $A_1,A_2,\ldots$ numerables podemos escribir $$\begin{aligned}& A_1=\{a_{11},a_{12},a_{13},\ldots\},\;A_2=\{a_{21},a_{22},a_{23},\ldots\},\\
    & \ldots,\;A_n=\{a_{n1},a_{n2},a_{n3},\ldots\},\;\ldots
    \end{aligned}$$ Entonces, $\cup_{i=1}^{\infty}A_i=\{a_{ij}:(i,j)\in \mathbf{N}\times \mathbf{N}\}.$ La función $f(a_{ij})=(i,j)$ es trivialmente biyectiva y por el ejemplo 3, $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ es numerable con lo cual $\cup_{i=1}^{\infty}A_i$ es numerable.

  8. Si $\{B_i:i\in I\}$ es una familia contable de conjuntos contables la unión, $\cup_{i\in I}B_i$ puede fácilmente considerarse como incluida en una familia $\{A_n:n\in\mathbf{N}\}$ del tipo del teorema anterior, con lo cual obtenemos el siguiente corolario:
    Corolario. Si $\{B_i:i\in I\}$ es una familia contable de conjuntos contables, la unión, $\cup_{i\in I}B_i$ es contable.

  9. Teorema. El conjunto $\mathbf{Q}$ de los números racionales es numerable.
    Demostración. Sea $\mathbf{Q}^+$ el conjunto de los números reales positivos y $\mathbf{Q}^-$ el de los racionales negativos. Consideremos la aplicación $f:\mathbf{Q}^+\to \mathbf{N}\times \mathbf{N}$ dada por $f(p/q)=(p,q).$ Esta aplicación es inyectiva, por tanto $\mathbf{Q}^+$ es equivalente a un subconjunto de $\mathbf{N}\times \mathbf{N}$ (que por el ejemplo 3 es numerable) y por el teorema 5, $\mathbf{Q}^+$ es numerable. De la misma manera, $\mathbf{Q}^-$ es numerable con lo cual $\mathbf{Q}=\mathbf{Q}^-\cup \{0\}\cup \mathbf{Q}^+$ es numerable por el corolario 8.

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