Cardinal de un espacio vectorial finito

Estudiamos el posible cardinal de un espacio vectorial finito.

    Enunciado
    Sea $E\ne \{0\}$ un $K$- espacio vectorial con un número finito de vectores.
  1. Demostrar que $K$ es finito.
  2. Demostrar que el cardinal de $E$ es de la forma $p^m$ con $p$ primo y $m$ número natural.
  3. ¿Existe algún espacio vectorial con $6$ elementos?
    Solución
  1. Sea $0\ne x\in E$ y sean $\lambda, \mu\in K.$ Entonces, $$\lambda x=\mu x\Rightarrow \lambda x-\mu x=0\Rightarrow (\lambda-\mu)x=0\underbrace{\Rightarrow}_{x\ne 0}\lambda =\mu.$$ Eso implica que si $K$ fuera infinito, el subconjunto $\{\lambda x:\lambda \in K\}$ de $E$ sería infinito en contradicción con la hipótesis de ser $E$ finito.
  2. Por el apartado anterior, $K$ ha de ser finito. El cardinal de $K$ es por tanto de la forma $p^n$ (ver Cardinal de un cuerpo finito) con $p$ primo y $n$ natural. El propio $E$ (finito) genera a $E$ en consecuencia existe una base de $E$ formado por un número finito de vectores, digamos $B=\{u_1,\ldots,u_r\}.$ Como $E\cong K^r,$ el número de vectores de $E$ es el mismo que el de $K^r$ es decir $(p^n)^r=p^{nr}.$ Concluimos que el cardinal de $E$ es de la forma $p^m$ con $p$ primo y $m$ número natural.
  3. Claramente, 6 no se puede expresar en la forma $p^m,$ en consecuencia no existe tal espacio vectorial.
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