La clase de los cardinales está totalmente ordenada

Demostramos que la clase de los números cardinales está totalmente ordenada.

Teorema. Sean $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$ dos números cardinales. Entonces, se verifica $\mathfrak{a}\le\mathfrak{b}$ o $\mathfrak{b}\le\mathfrak{a}$.

Demostración. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$. Basta demostrar que existe una aplicación inyectiva $f:A\to B$ o una aplicación inyectiva $f:B\to A.$

Definimos el conjunto $$\mathcal{X}=\{(C,D,g):C\subset A,\; D\subset B,\;g:C\to D \text{ biyección}\}.$$

En $\mathcal{X}$ definimos la siguiente relación
$$(C,D,g)\preceq (C^\prime,D^\prime,g^\prime)\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} C\subset C^\prime\\D\subset D^\prime\\ g=g^\prime|_C\end{matrix}\right.$$ Es sencillo verificar que $\preceq$ es relación de orden en $\mathcal{X}$. Sea $\mathcal{A}=\{(C_i,D_i,g_i):i\in I\}\subset \mathcal {X}$ un subconjunto de $\mathcal{X}$ totalmente ordenado y veamos que $\mathcal{A}$ está acotado superiormente. Sean $C=\bigcup_{i\in I}C_i$, $D=\bigcup_{i\in I}D_i$ y definamos la aplicación: $$g:C\to D, \quad g(x)=g_i(x)\text{ si }x\in C_i.$$ Es decir, $g|_{C_i}=g_i$ para todo $i\in I$. Esta aplicación está bien definida. En efecto, supongamos que $x\in C_i$ y $x\in C_j$. Al ser $\mathcal{A}$ totalmente ordenado, se verifica $C_i\subset C_j$ y $g_j|_{C_i}=g_i$, o bien $C_j\subset C_i$ y $g_i|_{C_j}=g_j$. Es decir, en ambos casos $g_i|_{C_i\cap C_j}=g_j|_{C_i\cap C_j}$ y por tanto, $g$ está bien definida. Es biyectiva al serlo $g_i$ para todo $i\in I$.

El elemento $(C,D,g)\in\mathcal{X}$ es claramente una cota superior de $\mathcal{A}$. Por el lema de Zorn, $\mathcal{X}$ posee al menos un elemento maximal $(A_0,B_0,f).$

Si demostramos que $A_0=A$ o $B_0=B$ el teorema está demostrado pues si $A_0=A$, al ser $(A,B_0,f)\in \mathcal{X}$ tenemos $B_0\subset B$ y $f:A\to B_0$ biyectiva con lo cual $f:A\to B\supset B_0$ es inyectiva i.e. $\mathfrak{a}\le \mathfrak{b}$. Si $B_0=B$, al ser $(A_0,B,f)\in \mathcal{X}$ tenemos $A_0\subset A$ y $f:A_0\to B$ biyectiva con lo cual $f^{-1}:B\to A_0$ es biyectiva y $f^{-1}:B\to A\supset A_0$ inyectiva i.e. $\mathfrak{b}\le \mathfrak{a}$.

Veamos que $A_0=A$ o $B_0=B$ por contradicción. Si $A_0\ne A$ y $B_0\ne B$ entonces, $A_0 \subsetneq A$ y $B_0 \subsetneq B$ con lo cual existe $a\in A\setminus A_0$ y existe $b\in B\setminus B_0$. Podemos definir la biyección $g:A_0\cup \{a\}\to B_0\cup\{b\}$ dada por $g(a)=b$ y $g|_{A_0}=f.$ Entonces, $(A_0\cup \{a\},B_0\cup\{b\},g)\in \mathcal{X}$ y $$(A_0,B_0,f)\prec(A_0\cup \{a\}B_0\cup\{b\},g)$$ lo cual contradice el hecho de ser $(A_0,B_0,f)$ maximal.

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