Suma de cardinales

Definimos la suma de cardinales y demostramos algunas propiedades.

Si $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$ son dos cardinales entonces, siempre existen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$. En efecto, si $\mathfrak{a}=|A^\prime|$ y $\mathfrak{b}=|B^\prime|$ basta elegir $A=A^\prime \times \{0\}$ y $B=B^\prime \times \{1\}$. Entonces, $A\cap B=\emptyset$ y $|A|=|A^\prime|$, $|B|=|B^\prime|$.
La siguiente definición, generaliza para cardinales cualesquiera el conocido concepto de suma de cardinales finitos.

Definición. Sean $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$ dos cardinales y sean $A$ y $B$ conjuntos disjuntos tales que $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$ con $A\cap B=\emptyset$. Se define su suma como $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=|A\cup B|$.

La definición no depende de los conjuntos $A$ y $B$ elegidos pues si $\mathfrak{a}=|A_1|$ y $\mathfrak{b}=|B_1|$ con $A_1\cap B_1=\emptyset$ entonces, existe una obvia biyección entre $A\cup B$ y $A_1\cup B_1$ y por tanto $|A\cup B|=|A_1\cup B_1|$.

Teorema. Para todo $\mathfrak{a},\mathfrak{b}, \mathfrak{d}$ cardinales se verifica
(1) $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\mathfrak{b}+\mathfrak{a}$.
(2) $\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{d})=(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{d}$.
(3) $0+\mathfrak{a}=\mathfrak{a}.$
(4) Si $\mathfrak{a}_1, \mathfrak{a}_2, \mathfrak{b}_1, \mathfrak{b}_2$ son cardinales con $\mathfrak{a}_1 \le \mathfrak{a}_2$ y $\mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{b}_2$ entonces, $\mathfrak{a}_1+\mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{a}_2+\mathfrak{b}_2$.
(5) $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$.
Demostración.
(1) Sean $\mathfrak{a}=|A|$ y $\mathfrak{b}=|B|$ con $A\cap B=\emptyset$. Entonces, $B\cap A=\emptyset$ luego $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=|A\cup B|=|B\cup A|=\mathfrak{b}+\mathfrak{a}$.
(2) Sean $\mathfrak{a}=|A|$, $\mathfrak{b}=|B|$, $\mathfrak{d}=|D|$ con $A\cap B=\emptyset$, $A\cap D=\emptyset$ y $B\cap D=\emptyset$. Entonces, $A\cap (B\cup D)=\emptyset$ y $(A\cup B)\cap D=\emptyset$ y por tanto $$\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{d})=|A|+|B\cup D|=|A\cup(B\cup D)|$$ $$=|(A\cup B)\cup D|=|A\cup B|+|C|=(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{d}.$$(3) Tenemos $0=|\emptyset|$ y sea $\mathfrak{a}=|A|$. Como $\emptyset \cap A=\emptyset$, se verifica $0+\mathfrak{a}=|\emptyset \cup A|=|A|=\mathfrak{a}.$
(4) Sean $\mathfrak{a}_1=|A_1|$, $\mathfrak{a}_2=|A_2|$, $\mathfrak{b}_1=|B_1|$, $\mathfrak{b}_2=|B_2|$ con $A_1\cap B_1=\emptyset$ y $A_2\cap B_2=\emptyset$. Como $\mathfrak{a}_1 \le \mathfrak{a}_2$ y $\mathfrak{b}_1 \le \mathfrak{b}_2$, existen aplcaciones inyectivas $f:A_1\to A_2$ y $g:B_1\to B_2$. Entonces, la aplicación $h:A_1\cup B_1\to A_2\cup B_2$ dada por $h(x)=f(x)$ si $x\in A_1$ y $h(x)=g(x)$ si $x\in B_1$ es inyectiva. Por tanto, $\mathfrak{a}_1+\mathfrak{b}_1=|A_1\cup B_1|\le |A_2\cup B_2|=\mathfrak{a}_2+\mathfrak{b}_2.$
(5) Tenemos $\aleph_0=|\mathbb{N}|$ y también $\aleph_0=|\mathbb{N}\times \{0\}|$. Al ser $\mathbb{N}\cap (\mathbb{N}\times \{0\})=\emptyset$, se verifica $\aleph_0+\aleph_0=|\mathbb{N}\cup (\mathbb{N}\times \{0\})|$. Pero $\mathbb{N}\cup (\mathbb{N}\times \{0\})$ es contable al ser unión contable de contables y al ser infinito, es numerable. En consecuencia, $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$. $\quad\square$

De la propiedad $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ se deduce que existen cardinales infinitos no regulares para la suma. En efecto, $\aleph_0+\aleph_0=0+\aleph_0$ y sin embargo, $\aleph_0\ne 0$.

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