Potenciación de cardinales

Definimos la potenciación de cardinales y demostramos algunas de sus propiedades

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $A^B=\{f:B\to A \text{ con } f\text{ aplicación} \}.$ Si $A$ y $B$ son finitos con $m$ y $n$ elementos respectivamente, el número de elementos de $A^B$ son las variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$ es decir, $VR_{m,n}=m^n$ y por tanto $|A^B|=|A|^{|B|}$. Generalizamos esto para cardinales cualesquiera.

Definición. Sean $\alpha$ y $\beta$ dos cardinales y sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $\alpha=|A|$ y $\beta=|B|$. Se define $\alpha^{\beta}:=|A^B|$.

Veamos que la operación está bien definida. Si $\alpha=|A|=|A_1|$ y $\beta=|B|=|B_1|$, existen aplicaciones biyectivas $F:A\to A_1$, $G:B\to B_1$. Para cada aplicación $f\in A^B$ tenemos la siguiente situación. $$B_1\xrightarrow{G^{-1}} B\xrightarrow{f}A\xrightarrow{F} A_1.$$

Definimos la aplicación $\phi:A^B\to A_1^{B_1}$ tal que $\phi (f)=F f G^{-1}$. La aplicación $\phi$ es inyectiva pues si $\phi (f_1)=\phi (f_2)$ entonces, $F f_1 G^{-1}=F f_2 G^{-1}$ y operando a la izquierda por $F^{-1}$ y a la derecha por $G$, obtenemos $f_1=f_2$.

La aplicación $\phi$ también es sobreyectiva, pues si $g\in A_1^{B_1}$ entonces la aplicación $f=F^{-1} g\; G:B\to A$ satisface $$\phi (f)=\phi \left(F^{-1} g \;G\right)=F\left(F^{-1} g\; G\right)G^{-1}=g.$$ Concluimos que $|A^B|=|A_1^{B_1}|$ con lo cual, la operación potenciación $\alpha^{\beta}$ está bien definida.

Teorema. Para todo $\alpha,\beta, \gamma$ cardinales se verifica
(1) $\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^{\beta}\alpha^{\gamma}$.
(2) $(\alpha\beta)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}$.
(3) $(\alpha^{\beta})^{\gamma}=\alpha^{\beta \gamma}$.
(4) Si $\alpha \le \beta$, entonces $\alpha^\gamma \le \beta ^\gamma$.
(5) $\alpha^2=\alpha\alpha$.
Demostración.
(1) Sean $\alpha=|A|$, $\beta=|B|$, $\gamma=|C|$ con $B$ y $C$ disjuntos. Basta demostrar que $A^{B \cup C}$ y $A^B\times A^C$ son equivalentes. Sea $f\in A^{B \cup C}$ y llamemos $f_1$ y $f_2$ las restricciones de $f$ a $B$ y a $C$ respectivamente. Definimos $F: A^{B \cup C}\to A^B\times A^C$ mediante $F(f)=(f_1,f_2).$ La aplicación $F$ es inyectiva pues si $F(f)=F(g)$ entonces, $(f_1,f_2)=(g_1,g_2)$, luego $f_1=g_1$ y $f_2=g_2$ de lo cual se deduce que $f=g$.
La aplicación $F$ es sobreyectiva pues si $(h_1,h_2)\in A^B\times A^C$, la aplicación $f\in A^{B \cup C}$ dada por $f(x)=g_1(x)$ si $x\in B$, $f(x)=g_2(x)$ si $x\in C$ entonces $F(f)=(h_1,h_2)$.

(2) Sean $\alpha=|A|$, $\beta=|B|$, $\gamma=|C|$. Tenemos que demostrar que $|(A\times B)^C|=|A^C\times B^C|$ o bien que existe una biyección $F:(A\times B)^C\to A^C\times B^C$. Todo elemento $f\in (A\times B)^C$ es una aplicación $f:C\to A\times B$ que se puede escribir en la forma $f=(f_1,f_2)$ donde $f_1$ y $f_2$ son las proyecciones de $f$ sobre $A$ y $B$ respectivamente. La aplicación $$F:(A\times B)^C\to A^C\times B^C,\quad F(f)=(f_1,f_2)$$ es claramente biyectiva de lo cual se deduce $(\alpha\beta)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}$.

(3) Sean $\alpha=|A|$, $\beta=|B|$, $\gamma=|C|$. Tenemos que demostrar que $|(A^B)^C|=|A^{B\times C}|$, que existe una biyeeción $F:A^{B\times C}\to (A^B)^C$. Sea $f\in A^{B\times C}$ es decir, una aplicación $f:B\times C\to A$. Definimos la aplicación $$\begin{aligned}& F:A^{B\times C}\to (A^B)^C,\quad
F(f):C\to A^B\\
& F(f)(c): B\to A, \quad (F(f)(c))(b)=f(b,c)\;\;\forall b\in B.\end{aligned}$$

La aplicación $F$ es inyectiva pues si $F(f)=F(g)$, entonces $F(f)(c)=F(g)(c)$ para todo $c\in C$ con lo cual $f(b,c)=g(b,c)$ para todo $(b,c)\in B\times C$ es decir, $f=g$.

La aplicación $F$ es también sobreyectiva. En efecto, si $h\in (A^B)^C$ entonces $h$ es aplicación $h:C\to A^B$ con lo cual para cada $c\in C$ tenemos $h(c):B\to A$. Elijamos $f:B\times C\to A$ dada por $f(b,c)=(h(c))(b)$. Entonces, $$\begin{aligned}&(F(f)(c))(b)=f(b,c)=(h(c))(b)\;\forall b\in B\Rightarrow
\\ &F(f)(c)=h(c)\;\forall c\in C\Rightarrow F(f)=h.\end{aligned}$$

(4) Sea $\alpha=|A|$, $\beta=|B|$ y $\gamma=|C|$. Como $\alpha \le \beta$ existe $f:A\to B$ inyectiva, luego $f:A\to f(A) \subset B$ es biyectiva. Llamando $B_1=f(A)$ tenemos $\alpha=|B_1|$ con $B_1\subset B$. La aplicación $F:B_1^C\to B^C$ dada por $F(f)=f$ es claramente inyectiva, por tanto $|B_1^C|\le |B^C|$ lo cual demuestra que $\alpha^\gamma \le \beta ^\gamma$.

(5) Sea $\alpha=|A|$. Entonces, $\alpha\alpha=|A\times A|$ y $\alpha^2=|A^{\{0,1\}}|$. La aplicación $$F:A\times A\to A^{\{0,1\}},\; F\left((a,b)\right)=f\text{ con }f(0)=a,\;f(1)=b$$ es claramente biyectiva, por tanto $\alpha^2=|A^{\{0,1\}}|=|A\times A|=\alpha\alpha$.

Teorema. $X$ es un conjunto y $\mathcal{P}(X)$ el conjunto de las partes de $X$, se verifica $|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}$.
Demostración. Consideremos $\{0,1\}^X=\{f:X\to \{0,1\}\text{ con }f\text{ aplicación}\}$. Es claro que cada $f\in \{0,1\}^X$ queda determinado conociendo $f^{-1}(0)$. Definamos la aplicación $F:\{0,1\}^X\to \mathcal{P}(X)$ dada por $F(f)=f^{-1}(0)$. Es inyectiva pues si $F(f)=F(g)$ entonces, $f^{-1}(0)=g^{-1}(0)$ con lo cual $f=g$. Es sobreyectiva pues dado $A\in \mathcal{P}(X)$ la función $f:X\to \{0,1\}$ dada por $f(x)=0$ si $x\in A$ y $f(x)=1$ si $x\notin A$ satisface $A=f^{-1}(0)=F(f)$. Existe pues biyección entre $\{0,1\}^X$ y $\mathcal{P}(X)$, luego $|\mathcal{P}(X)|=|\{0,1\}^X|=2^{|X|}$

Teorema. Se verifica $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.
Demostración. Claramente se cumple $2^{\aleph_0}\leq \aleph_0^{\aleph_0}\leq (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\aleph_0}=2^{\aleph_0} $ por tanto, $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$.

Teorema. Se verifica $\mathbf{c}=2^{\aleph_0}$.
Demostración. Dado que $\mathbf{c}=|\mathbb{R}|=|[0,1)|$ y $2^{\aleph_0}=|\{0,1\}^{\mathbb{N}}|$, bastará demostrar que $|[0,1)|\le |\{0,1\}^{\mathbb{N}}|$ y que $ |\{0,1\}^{\mathbb{N}}|\le [0,1)|$.

Sabemos que la representación binaria de un número $x\in [0,1)$ dada por $$0.a_1a_2a_3\ldots=\sum_{i\ge1}\frac{a_i}{2^i},\;\; a_i\in \{0,1\}$$ es única si excluimos las representaciones con una cola de infinitos 1s. Por ejemplo, $0.0111\ldots=0.1$ con lo cual excluiríamos la primera representación. Entonces, la aplicación $f:[0,1)\to \{0,1\}^{\mathbb{N}}$ dada por $f(x)=(a_1,a_2,\ldots)$ es inyectiva con lo cual, $|[0,1)|\le |\{0,1\}^{\mathbb{N}}|$.

Establezcamos ahora una inyección de $2^{\mathbb{N}}$ a $[0,1)$. Dada una sucesión $(a_1,a_2,\ldots)\in 2^{\mathbb{N}}$ podríamos verla como la representación binaria de un número y considerar $(a_1,a_2,\ldots)\mapsto\sum_{i\ge 1} a_i/2^i$. Ahora bien, ésta aplicación no sería inyectiva (por la cuestíon de la infinitas colas de unos). Podemos sin embargo considerar la aplicación $g:2^{\mathbb{N}}\to [0,1)$ dada por $g(a_1,a_2,\ldots)=\sum_{i\ge 1} a_i/10^i$ (representación decimal de $x$). Esta aplicación es inyectiva pues las únicas representaciones decimales ambiguas son aquellas con colas de infinitos 9s y ahora $a_i\ne 9$ para todo $i$. Es decir, $ |\{0,1\}^{\mathbb{N}}|\le [0,1)|$.

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