Ideales biláteros en el anillo de matrices

Demostramos que en el anillo de las matrices de orden $n$ sobre un cuerpo los únicos ideales biláteros son los triviales.

Enunciado
Demostrar que en el anillo $\mathbb{K}^{n\times n}$ de las matrices de orden $n$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ los únicos ideales biláteros son los triviales.

Solución
Efectivamente, sea $J\ne \{0\}$ un ideal bilátero de $\mathbb{K}^{n\times n}$ y sea $0\ne A=[a_{ij}]\in J$. Existen índices $s,t$ tales que $a_{st}\ne 0$. Sea $E_{ij}=[e_{ij}]$ la matriz con $e_{ij}=1$ y $0$ en las restantes posiciones. Tenemos, $$a_{st}^{-1}E_{is}AE_{ti}=$$ $$a_{st}^{-1}\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{1}_{\text{lugar }is} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}A\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{1}_{\text{lugar }ti} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}$$ $$=a_{st}^{-1}\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{a_{is}}_{\text{lugar }is} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{1}_{\text{lugar }ti} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}$$ $$=a_{st}^{-1}\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{a_{st}}_{\text{lugar }ii} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &\ldots &0 & \ldots &0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 & \ldots & \underbrace{1}_{\text{lugar }ii} &\ldots & 0\\ \vdots & &\vdots & &\vdots & \\0 &\ldots &0 & \ldots &0\end{bmatrix}=E_{ii}.$$ Es decir, $E_{ii}=a_{st}^{-1}E_{is}AE_{ti}$ y por ser $J$ ideal bilátero, $E_{ii}\in J$. Ahora bien, la matriz identidad es $I_n=\sum_{i=1}^ n E_{ii}$ con lo cual $I_{n}\in J$. Esto implica que $J=\mathbb{K}^{n\times n}.$ Cocncluimos que los únicos ideales biláteros de $\mathbb{K}^{n\times n}$ son los triviales.

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